Ігрова постановка задач СП.

Зазвичай в задачах стохастичного програмування спільний розподіл випадкових параметрів умов задачі припускається заданим. В тих випадках, коли за тими чи іншими міркуваннями визначення спільного розподілу випадкових початкових даних не є можливим, стохастична задача може бути розглянута як гра двох осіб з нульовою сумою.

Першим є гравець, який приймає рішення. Він прагне звести до мінімуму середню плату за гру. Йому протистоїть природа, що обирає свої стани, виходячи з тенденції максимізувати середню плату першого гравця. При кожному стані природи та виборі стратегії х першого гравця, функція плати задається як сума відповідних значень лінійної форми задачі та штрафу за нев’язку плану.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g[x,A(\omega),b(\omega),c(\omega)]=\sum^{n}_{j=1} c_j(\omega)x_j + \sum^{m}_{i=1} \phi_i \left[\sum^{n}_{j=1} a_{ij}(\omega)x_j-b_i(\omega)\right] \

(2.1) 

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi_i(y),(i=1,2,...,m)

– неперервна неспадна функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  y 

, що дорівнює нулю при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \leq 0 .

У термінах теорії ігор план початкової задачі інтерпретується як чиста стратегія першого гравця. Позначимо задану множину чистих стратегій того, хто приймає рішення через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M . Множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega

станів природи визначає множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  N 
евклідового простору розмірності Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  mn+m+n 

, що відповідає допустимій області змін елементів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{ij}(\omega),b_i (\omega),c_j (\omega)

умов задачі.  

Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S

множину мішаних стратегій першого гравця, тобто множину розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x
вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

, визначених на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M , а через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T

– множину мішаних стратегій другого гравця – природи, тобто множину спільних розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{A,b,c} 
матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  A(\omega) 
та векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  b(\omega) 
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  c(\omega) 

, визначених на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N . У тих випадках, коли розподіл частини параметрів відомий, розглядаються лише ті мішані стратегії, в яких розподіл цих параметрів збігається з відомим. Нехай вони утворюють множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{T} \subset T .

У прийнятих позначеннях ігрова постановка задачі стохастичного програмування (задачі управління в умовах часткової невизначеності) може бути сформульована таким чином.

Потрібно обчистити такі мішані стратегії Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*\in S

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{A,b,c}^*\in \tilde{T} 

, що

При досить загальних умовах (компактності множин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M

 та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N

) існують Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*\in S

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{A,b,c}^*\in \tilde{T} 

, на яких досягається розв’язок гри.

Зазвичай розглядають два крайніх випадки задачі управління в умовах часткової невизначеності: задачу вибору рішення в умовах невизначеності та задачу вибору розв’язку в умовах ризику. Перша постановка відповідає випадку, коли про спільне розподіл Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{A,b,c}

параметрів умов задачі заздалегідь нічого невідомо. У цьому випадку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  T \equiv \tilde{T} 
являє собою безліч всіляких розподілів, визначених на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  N 

, і розв’язок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*

стохастичної задачі визначає, взагалі кажучи, мішану стратегію. 

В задачах управління в умовах ризику функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{A,b,c}

відома заздалегідь і множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \tilde{T} 
складається з цього єдиного елементу. Залежно від того, як обирається множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M
планів задачі, отримаємо різні постановки задач стохастичного програмування. Зокрема, якщо в якості множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  M 
взяти область 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{x: P[A(\omega)x \leq b(\omega)]\} \geq \alpha, 0\le\alpha\le1 ,

отримаємо задачу з імовірнісними обмеженнями.

Розв’язком цієї задачі є детермінований план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x , тобто оптимальна стратегія першого гравця – чиста стратегія.

Нехай і раніше Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S

– множина мішаних стратегій першого гравця – множина допустимих розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x
вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T

– множина мішаних стратегій природи – множина розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{\omega} 
випадкових параметрів умов задачі. При досить загальних умовах існує розв’язок гри в мішаних стратегіях, тобто існує сідлова точка функції плати:  

Іншими словами, існують мішані стратегії Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*\in S

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{A,b,c}^*\in \tilde{T} 
(Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \tilde{T} 
– множина, визначена заданими обмеженнями на допустимі мішані стратегії природи), такі, що  

Оптимальна стратегія Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*

першого гравця являє собою апріорний розв’язувальний розподіл задачі стохастичного програмування в ігровій постановці.  

Особливий інтерес, природно, викликають випадки, коли можна отримати розв’язок в чистих стратегіях.

Теорема 2.1. Нехай непорожня множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{T}

опукла та слабкокомпактна, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \phi_i, i=1,...,m. 
опуклі, а ψ_0 (ω,x) та φ_i [ψ_i (ω,x) ],i=1,…,m рівномірно (по Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F_{\omega}\in \tilde{T} 

) інтегровані для всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X = \{x\geq0\} . Тоді

Оптимальна чиста стратегія Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^*

першого гравця являє собою апріорне розв’язувальне правило задачі стохастичного програмування в ігровій постановці. 

; ; ; ; ;