Дивергенція,ротор і градієнт
Дивергенція — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків.
Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля не має. Таке поле називають соленоїдальним.
Визначення
Дивергенцією Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}
векторного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F}
в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S
, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}=\lim_{V \to 0}\frac{\oint_{S}\mathbf{Fn}\,dS}{V}.
В декартових координатах, використовуючи формулу Остроградського, дивергенцію поля можна записати в наступному вигляді:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=\nabla\mathbf{F},
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}
- оператор набла.
Властивості дивергенції
Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних.
- Дивергенція є лінійним оператором. Тобто для будь-яких векторних полей Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{G}
та будь-яких чисел Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b
справедливий наступний вираз:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})=a\,\operatorname{div}(\mathbf{F}) + b\,\operatorname{div}(\mathbf{G}).
- Справедливий наступний вираз для дивергенції добутку скалярного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi
на векторне Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\varphi\mathbf{F})=\operatorname{grad}(\varphi)\cdot\mathbf{F} + \varphi\,\operatorname{div}(\mathbf{F})
- Дивергенція поля, яке дорівнює векторному добутку двох полей, можна виразити через ротори кожного поля:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot\operatorname{rot}(\mathbf{G}).
- Дивергенція від градієнта скалярного поля дорівнює лапласіану від цього поля:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\operatorname{grad}(\varphi))=\mathcal{4}\varphi.
- Дивергенція ротора тотожньо дорівнює нулю:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathbf{F}))=0.
Ротор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого – орти координатних осей, друга – оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третя – координати функції, яка визначає векторне поле.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{rot} \; \mathbf{A} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{matrix} \right| = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}
З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша в даній точці саме в площині, перпендикулярній ротору.
Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенційним.
Джерела
автор=Г.М. Фихтенгольц назва=Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III рік=1969 видавництво= Наука знаходження=Москва}}
