Навчальний курс "Теорія міри та інтегралу" Гаєвський М.В.
Зміст
Назва курсу
Теорія міри та інтеграла (ТМІ)
Програма з курсу «Теорія міри та інтегралу» відповідає навчальному плану для
держуніверситетів. Курс «Теорія міри та інтегралу» є необхідною складовою частиною базової
теоретичної підготовки студента-математика та основою для подальшого вивчення
спеціальний дисциплін.
Він дає можливість засвоїти основні теоретичні відомості з абстрактної теорії міри та теорії інтегралу Лебега, а також практичні вміння та навички що до обчислення міри множин на прямій та інтегрування функцій однієї змінної. Курс «Теорія міри та інтегралу» розрахований для студентів 3 курсу математичного факультету спеціальності «Статистика».
Мета та завдання навчального курсу
Мета полягає у викладенні основних понять і фактів сучасної теорія міри та інтегралу на базі теорії множин, вищої алгебри та математичного аналізу.
Завданням є розглянути основні поняття теорії міри, вимірних функцій та інтегралу, навчити типовим методам обчислення мір множин, інтегралів від вимірних функцій та застосуванню цих методів в різних розділах математики, сприяти засвоєнню знань, необхідних для подальшого вивчення теорії інтегральних рівнянь та функціонального аналізу.
У результаті вивчення навчального курсу студент повинен
знати:
- поняття міри та вимірних множин;
- поняття півкільця, кільця, алгебри та сигма- кільця, алгебри;
- борелівську класифікацію множин;
- алгоритм побудови міри Лебега;
- означення вимірної функції;
- властивості вимірних функцій;
- означення та способи обчислення інтегралу Лебега, невизначеного інтеграла Лебега, інтегралів Лебега-Стільтьєса;
- основні твердження про збіжність інтегралів та вимірних функцій.
вміти:
- перевіряти замкненість, відкритість, вимірність множин, належність до відповідних борелівських класів;
- перевіряти вимірність та інтегрованість за Лебегом функцій;
- обчислювати міру Лебега, Лебега-Стільтьєса різних множин;
- визначати значення інтеграла Лебега, Лебега-Стільтьєса в різних випадках;
- знаходити зв'язок з інтегралом Рімана;
- застосовувати теорему Фубіні.
Автор (автори) курсу
Учасники
студенти 37 групи
Графік навчання
Тижневих годин для денної форми навчання:
Аудиторних – 4
Самостійної роботи студента – 6
Структура
Змістовий модуль 1. Основні класи множин. Міра та її властивості.
3. Продовження міри з півкільця на породжене кільце. Зовнішня міра та її основні властивості. Міра на кільці. - 2 год.
4. Вимірність за Каратеодорі. Теорема Каратедорі про клас вимірних множин. Вимірність за Каратеодорі елементів вихідного кільця. Єдиність продовження міри з кільця на породжене сигма-кільце. Наближення значень міри її значеннями на кільці. - 2 год.
5. Міри Жордана, Лебега на прямій і на площині. - 2 год.
6. Міра Лебега–Стілтьєса - 2 год.
Теми практичних робіт
[Практичне заняття 1. Класи множин — 2 год.]
[Практичне заняття 2. Класи множин. Адитивні функції множин — 2 год.]
Практичне заняття 3. Міра та її властивості — 2 год.
Практичне заняття 4. Зовнішня міра. Вимірні множини. Продовження міри — 2 год.
Практичне заняття 5. Міра Лебега на прямій — 2 год.
Практичне заняття 6. Міра Лебега в просторі Міра Лебега-Стілтьєса на прямій — 2 год.
Практичне заняття 7. Контрольна робота — 2 год.
Змістовий модуль 2. Вимірні функції. Інтеграл Лебега
1. Вимірні функції, критерій вимірності (дійсної) функції. Арифметичні дії над вимірними функціями. Вимірність послідовності вимірних функцій. — 2 год.
2. Прості вимірні функції. Апроксимація вимірних функцій простими. Властивості, що виконуються майже скрізь. Збіжність майже скрізь, теореми про єдиність та про вимірність границі. Теорема Єгорова. Збіжність за мірою. — 2 год.
3. Означення інтеграла Лебега. Теорема про наближення значення інтеграла інтегралами від простих функцій. — 2 год.
4. Елементарні властивості інтеграла Лебега. — 2 год.
5. сигма–адитивність інтеграла Лебега як функції множин. абсолютна неперервність інтеграла Лебега— 2 год.
6. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега. Теорема про монотонну збіжність. Теорема Б.Леві. Лема Фату. Теорема Лебега про мажоровану збіжність. — 2 год.
7. Порівняння інтеграла Рімана та інтеграла Лебега. Критерій Лебега інтегровності за Ріманом. Порівняння невласного інтеграла Рімана та інтеграла Лебега. Інтеграл Лебега–Стілтьєса на прямій. Застосування. — 4 год.
8. Інтеграл Лебега від невід’ємної необмеженої функції. Сумовні функції довільного знака. — 2 год.
9. Неперервність та диференційовність інтеграла Лебега, що залежить від параметра. Заміна змінної в інтегралі Лебега. — 6 год.
10. Подвійні та повторні інтеграли. Теорема Фубіні. — 2 год.
11. Простори сумовних функцій. — 2 год.
Теми практичних робіт
Практичне заняття 8. Вимірні функції та їх властивості. — 2 год.
Практичне заняття 9. Еквівалентні функції. Збіжність майже скрізь — 2 год.
Практичне заняття 10. Збіжність за мірою послідовності функцій — 2 год.
Практичне заняття 11. Означення інтеграла Лебега — 2 год.
Практичне заняття 12. Властивості інтеграла Лебега — 6 год.
Практичне заняття 13. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега — 2 год.
Практичне заняття 14. Контрольна робота — 2 год.
Ресурси
Рекомендована література
а) основна
1. Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. — К.: Факт, 2007. — 164 с.
2. Колмогоров А.М., Фомін С.В. Елементи теорії функцій та функціонального аналізу. — К.: Наукова думка, 1977. — 578 с.
3. Натансон І.П. Основи теорії функцій дійсної змінної. К., 1950. - 546с.
4. Березанский Ю. М., Ус Г.Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. Курс лекций. — К.: Выща школа, 1990.— 600 с.
б) додаткова
5. Завдання до практичних занять з теорії міри та інтеграла для студентів спеціальностей „математика і „статистика” механіко-математичного факультету / Укладачі А.Я.Дороговцев, С.Д.Івасішен, О.Ю.Константінов, О.Г.Кукуш, О.О.Курченко, О.Н.Нестеренко, Т.О.Петрова, А.В.Чайковський. — К.: ВПЦ „Київський університет”, 2003. — 89 c.
6. Методы решения задач по функциональному анализу: Учебное пособие / В.В.Городецкий, Н.И.Нагнибида, П.П.Настасиев. — К.: Выща школа., 1990. — 479 с.
7. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.— М.: Наука, 1979.— 382 с.
8. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной.— М.: Наука, 1974. — 480 с.
9. Федоров В. М. Курс функционального анализа. - СПб.: Лань, 2005. - 352 с.
Інформаційні ресурси
4. www.math.ru
---
