Поля та суцільні середовища. Лінійні рівняння у механіці

Поля

Поле у фізиці - одна з форм матерії, що характеризує усі точки простору і часу, і тому має нескінченне число ступенів свободи. При описі фізичне поле в кожній точці простору характеризується певним(постійним або змінним в часі) значенням фізичної величини(чи її оператора - для квантованих полів). Це значення, як правило, міняється при переході від однієї точки простору до іншої. Залежно від математичного виду цієї величини виділяють скалярні, векторні, тензорні і спінорні поля. Динаміка фізичних полів описується диференціальними рівняннями в часткових похідних. Прикладом поля може бути вказівка температури в кожній точці певного об'єму за деякий проміжок часу - скалярне поле температур, або вказівка швидкостей усіх елементів деякої рідини - векторне поле швидкостей.

Серед полів у фізиці виділяють так звані фундаментальні. Це поля, які, згідно з польовою парадигмою сучасної фізики, складають основу матерії, усі інші поля і взаємодії з них виводяться. Історично серед фундаментальних полів спочатку були відкриті поля взаємодії : електричне, магнітне, таке, що об'єднало їх електромагнітне, гравітаційне(ці поля розглядалися ще в класичній фізиці), слабке поле, що об'єднало його з електромагнітним електрослабке і, нарешті, сильне(чи поле ядерних сил). Після створення квантової механіки стало очевидно, що і уся інша матерія також описується квантованими полями: окремими фундаментальними(як електрон) або їх колективними збудженнями(як протони, складені з 3 кварків і глюонного поля). Поодинокими збудженнями фундаментальних полів є їх кванти - елементарні частки: фотони, векторні бозони, глюони, лептони, кварки, і(поки гіпотетичні) гравітони. При цьому принципи причинності і скінченності швидкості поширення взаємодій вимагають, щоб диференціальні рівняння, що описують фундаментальні поля, належали до гіперболічного типу.

Довгий час вважалося, що поле є тільки наочним теоретичним поясненням таких явищ, як, наприклад, світлові хвилі, поки в 1887 році Генріх Рудольф Герц не довів існування електромагнітного поля експериментально. Навіть на початку XX століття Анри Пумнкаре вважав однією з проблем фізики відсутність збереження імпульсу і енергії зарядів в електродинаміці Лоренца(імпульс і енергія переходять від зарядів в електромагнітне поле).

Суцільні середовища

Суцільне середовище — фізична система з нескінченним числом внутрішніх ступенів свободи.

Класична механіка розглядає рух механічних систем із скінченим числом ступенів свободи. Наприклад, абсолютно тверде тіло, що складається з довільної кількості частинок, є системою з шістьма ступенями свободи. Якщо брати до уваги рухи деформації, то тіло може розглядатися як система рухомих частинок або як суцільне середовище із втратою при цьому частини інформації про рухи окремих частинок тіла. Для довільного реального середовища, яке містить у собі сумірну з числом Авогадро кількість атомів чи молекул, немає ніякого сенсу розглядати систему 10²³ диференціальних рівнянь руху з відповідною кількістю початкових умов.

Використання тієї чи іншої моделі суцільного середовища дозволяє спростити задачу за рахунок усереднення частини процесів, які відбуваються у середовищі. Іншими словами, замість розгляду рухів окремих атомів чи молекул, у моделях суцільного середовища частина простору, що заповнена середовищем, наділяється скалярними, векторними та тензорними характеристиками – полями (функціями координат та часу).

Рух суцільного середовища в просторі, на відміну від інших механічних систем, описується не координатами і швидкостями окремих частинок, а скалярним полем густини і векторним полем швидкостей. Залежно від завдань, до цих полів можуть додаватися поля інших фізичних величин (концентрація, температура, електрична поляризація тощо). Якщо серед характеристик середовища зустрічаються тензорні величини, відповідні рівняння для суцільного середовища записують у тензорній формі.

Посилання

• Суцільне середовище

Лінійні рівняння в механіці

Метод суперпозицій

Метод суперпозицій – застосування принципу суперпозиції для визначення результуючого ефекту від діяння складових складного процесу, які взаємно не впливають одна на одну. За цим принципом результуючий ефект для зазначених умов визначається як сума ефектів, які викликаються кожним діянням окремо.

Метод застосовний до систем, поведінка яких описується лінійними рівняннями. Основна ідея методу суперпозиції полягає в перетворенні граничної задачі для лінійних звичайних диференціальних рівнянь до двох або декількох завданням Коші, які можна вирішити одним з методів вирішення задач Коші, наприклад методом Рунге-Кутта. Це перетворення здійснюється шляхом подання шуканого рішення x(t) у вигляді лінійної суми x(t)=x1(t)+C1*x2(t)+...+Cn*xn(t) декілька функцій x(t), x2(t), xn(t) включає стільки невідомих констант C1,...,Cn, скільки бракує початкових умов для приведення до задачі Коші. Потім це подання x(t) підставляється у вихідне диференціальне рівняння і в результаті отримуємо систему з N+1 диференціальних рівнянь. При підстановці подання в умови для кордонів дає можливість обчислити початкові умови задачі Коші і невідомі константи C1,...,Cn.

ПРИКЛАД

Розглянемо крайову задачу, яка визначається лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:

і граничними умовами