Зв'язок неперервного та дискретного на прикладі рівняння Шредінга

Питання про рух, перехід поступових кількісних змін у якісні, поява в цілому властивостей, якими не володіє жодна з його частин, є одними із ключових питань сучасного фундаментального природознавства. Ці питання мають глибоких філософських корінь. Розвиток природничих наук змушує ще і ще раз повертатися до них. Вчених XIX в. вразила наявність хвильових властивостей у світла, яке вони представляли як потік дискретних часток. До глибокого перегляду фундаментальних понять привело в XX в. створення квантової механіки. Виявилося, що дискретні й безперервні властивості матерії не можна протиставляти один одному, що вони нерозривно зв'язані між собою. З'ясувалася й інша важлива обставина. Аналіз багатьох явищ вимагає сполучення дискретного й неперервного підходів. І питання про співвідношення тих й інших властивостей при побудові теорії виявляється далеко не простим. Від його успішного розв'язку часто залежить, наскільки глибоко нам вдається розібратися в досліджуваному об'єкті. Розглянемо завдання, при вирішенні якого був розвинений ряд ключових ідей. Проведемо аналіз поводження пружної струни, по якій вдарили в початковий момент часу. Зупинимося на системі, що складається із точкового вантажу масою т, до якого прикріплені дві однакові пружні горизонтальні нитки довжиною 102 натягнуті силою Р0 (сила тяжіння відсутня). При відхиленні вантажу від положення рівноваги з'являється протилежна сила, що повертає, довжиною 102 натягнуті силою F0(сила тяжіння відсутня). При відхиленні вантажу від положення рівноваги з’являється протилежна сила, що повертає, вона пропорційна відхиленню
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F=-2Fsinα=4Fμ/l0
тоді відповідно до другого закону Ньютона маємо:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (d^2 u)/(dt^2 )+ω^2 u=0,ω^2=4F/(ml)
Рівняння описує коливання із круговою частотою ω:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A=sinωt+Bcosωt
Де константи А і В визначаються початковими положенням і швидкістю вантажу. Ми вирішили завдання про коливання струни, вся маса якої зосереджена в центрі. Для однорідної струни з масою t і довжиною l це занадто грубе наближення; розумніше замінити її набором з N кульок з масою ц=m/N, розміщених на відстані h=1/N і з'єднаних нитками, натягнутими силою uк. ЯКЩО uк - відхилення к-ї кульки від положення рівноваги, то за умови, що різниця у відхиленнях сусідніх кульок мала,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): μa_k=mh/l_0 (∂^2 u_k)/(∂t^2 )=F≈F_(0 (u_(k+1)-2u_k+u_(k-1))/h→(∂^2 u_k)/(∂t^2 )=(F_0 l_0)/m (u_(k+1)-2u_k+u_(k-1))/h^2 )
У межі h→0 одержуємо вже відоме нам хвильове рівняння:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (∂^2 u)/(∂t^2 )-c^2 (∂^2 u)/(∂x^2 )=0,c^2=(F_0 l_0)/m.
Цей вивід рівняння вперше був зроблений Даламбером, що не тільки записав зазначене рівняння, але й знайшов його загальний розв'язок у вигляді суперпозиції двох хвиль:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=f(x+ct)+g(x-ct)
Однак використати даний розв'язок для струни кінцевих розмірів непросто. Дійсно, після удару по струні вправо й уліво йдуть хвилі. Вони доходять до кінців струни, відбиваються, ідуть у зворотну сторону - встановлюється якийсь режим, описувати який за допомогою отриманої формули незручно. Можливий інший шлях, запропонований Фур'є. Тому що струна робить коливальні рухи, розв'язок задачі шукають у вигляді:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=(Asinωt+Bcosωt)z(x), u=∑_(n=0)^∞〖(A_n sinω_n t+B_n cosω_n t) sin〖πnx/l_0 〗.〗
Розв'язок знайшовся у вигляді суперпозиції стоячих хвиль, для яких на довжині струни укладається ціле число п напівхвиль. Власні значення визначають, з якою частотою може коливатися струна в конфігурації n-й стоячої хвилі, форму якої описує власна функція:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z_n=sin(πnx/l_0 ).
Знайдені розв'язки зовні сильно різняться. Рівноправність їх не очевидна. Це питання стало причиною дискусії в середині XVIII в. (суперечка про струну) між Ейлером, Даламбером і Лагранжем. Дискусія дозволила переконатися не тільки в еквівалентності двох рішень (адже вихідне завдання має Розв'язок й воно єдине!), але й краще розібратися в рівняннях. Розв'язок, отриманий Фур'є, а є можливість з'ясувати співвідношення неперервного й дискретного в цьому завданні. Якщо ми маємо автомодельний розв'язок хвильового рівняння у вигляді стоячої хвилі, то дає у підсумку:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=c_n (t) sin(πnx/l_0 ),
то виявиться, що для різних сn(t) виходить
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (d^2 c_n (t))/(dt^2 )+ω_n^2 c_n (t)=0,n=0,1,2,…

Але це знову рівняння коливань. Виходить, струна виявляється еквівалентною нескінченній безлічі незалежних коливних вантажів. Цікаво й інше: у неперервній задачі, що описує коливання струни, є дискретний набір власних частот, неперервне і дискретне знову виявляються тісно зв'язаними. Глибокий зв'язок дискретного й неперервного відзначена й у фізиці мікросвіту, де в одних випадках матерію зручно розглядати як електромагнітну хвилю, а в інші - як потік часток (квантів). Мікрочастинки в деяких дослідах поводяться як хвилі, наприклад, випробовуючи дифракцію й інтерференцію. У той же час було встановлено, що світло (хвиля) квантується, реєструються дискретні порції світла - фотони. Виявилося, що й тут досить гармонічний дуалізм може бути описаний за допомогою лінійного рівняння математичної фізики - рівняння ШРЕДІНГЕРА. Вираження найпростішої (плоскої) хвилі, що описує коливання в просторі із частотою с0 і хвильовим вектором k, записується як ехр(іkх-іwt). Співставимо цій хвилі частку з енергією Е=ἠW імпульсом р=hk, де h - постійна Планка. Виразивши w і k з останніх співвідношень і підставивши їх у формулу для хвилі, одержимо хвильову функцію для частки з енергією Е і імпульсом р:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Ψ(x,t)=exp⁡(i p/h x-i E/h t)
Ця комплексна функція визначає щільність імовірності знаходження частки в часі й просторі. Неважко переконатися в справедливості тотожностей:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): -h/i ∂Ψ/∂t=EΨ і-h^2 (∂^2 Ψ)/(∂x^2 )=p^2 Ψ.
Але це означає, що енергія E є власним значенням оператора. Квадрат імпульсу р2 власним значенням оператора -h2 ∆Ψ, при цьому Ψ в обох випадках виступає як власна функція. Якщо частка маси m рухається в потенційному полі V(x), то в силу закону збереження енергії E=p2/2m+V. Щоб одержати хвильовий аналог цього співвідношення, ми повинні замінити E, р2 й V відповідними диференціальними операторами:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): -h/i∂Ψ/∂t=-h^2/2m ∆Ψ+V_Ψ
звідки й випливає фундаментальне рівняння хвильові й квантової механіки:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ih ∂Ψ/∂t=--h^2/2m ∆Ψ+V_Ψ
відкрите австрійським фізиком Эрвіном Шредінгером в 1926 р. Воно описує рух частки в заданому потенційному полі. визначає ймовірність P(G,t) знаходження частки в момент часу t в області G. Для оператора можна поставити завдання на власні значення: у результаті чого одержимо спектр Еп значень енергії частки, які вона може приймати, рухаючись у заданому потенційному полі. Відповідні ним власні функції показують, з якою ймовірністю можна виявити частку в різних точках простору. Вирішивши рівняння ШРЕДІНГЕРА для кулонівского потенціалуV=е2/r (е - заряд електрона, r - відстань до протона), можна знайти енергетичні рівні атома водню, з величезною точністю згідно з експериментом. До появи рівняння ШРЕДІНГЕРА існувала матрична квантова механіка Гейзенберга, що використає як апарат простір нескінченновимірних векторів з обмеженим скалярним квадратом. Теорія ШРЕДІНГЕРА використовує векторний простір функцій з обмеженим скалярним квадратом (уводять через інтеграл). З точки зору функціонального аналізу ці простори є еквівалентні представленню гільбертового простору. Одна із самих чудових ідей Давида Гільберта полягає в тому, щоб розглядати простори функцій як евклідові. Шредінгер першим побачив у квантованості станів аналогію із проблемою власних значень лінійного диференціального оператора. Однак розповідають, що ще до відкриття Шредінгером свого рівняння до Гильберта в Геттінген приїжджали фізики й задавали йому питання про зміст матриць у теорії Гейзенберга, на який Гильберт відповів, що звичайно такі таблиці з'являються при рішенні деяких диференціальних рівнянь. Фізики вирішили, що Гильберт просто не зрозумів питання, а через рік Шредінгер відкрив своє знамените рівняння.