Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами;

Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{zx} , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z - (в загальному випадку)-комплексні значення z. Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього - похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання

покладемо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=e^{zx} , що дає

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.

Діленням на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{zx}

многочлен n-го порядку

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,

Це алгебраїчне рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(t)=0 , характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші. Формально, члени

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).

вихідних диференціальних рівнянь замінюються на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^k . Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z_1, z_2, ...z_n . Підстановка будь-якого з цих значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z

в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): zx
дає розв'язок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{zx}

. Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння.

Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.

Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z

(можливо, комплексний) нуль (=корінь)Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  Р(x)

, що має кратність m, то Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=x^ke^{zx} \ , є розв'язками ЛОР (де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k\in\{0,1,\dots,m-1\} \, ). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степіньНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(x) . Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків.

Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): xkezx

, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Re(y)

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Im(y)

, де y — одна з функцій пари.

Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.