Трохи історії. Системи числення
Трохи історії
Людство вчилося рахувати дуже повільно. Йому знадобилося багато часу, щоб від примітивної нумерації ("1”, ”2” і "багато”) перейти до сотень і десятків. Навіть навчившись писати, наші предки ще довго не мали чітко продуманої нумерації, тому числа й цифри записували використовуючи ієрогліфи.
Ще у стародавніх євреїв, а згодом і в греків, слов’ян, римлян, виникла нумерація з використанням букв. Вона проіснувала близько 2 000 років.
Арабські цифри виникли в Індії і в Х—ХІІ ст. були занесені в Європу арабами (звідси й назва). Майже 4 000 р. назад у Вавилоні виникла позиційна нумерація.
У системі числення єгиптян спостерігався найголовніший принцип сучасної нумерації – її 10-кова основа, а у вавилонян другий, не менш важливий, - позиційність.
У Єгипті для позначення одиниць, десятків і т. д. використовували різні знаки, але розміщення цих символів було довільним. Тому така система числення (СЧ) була не позиційною. У вавилонян – навпаки: запис здійснювався строго за принципом позиційності.
Вавилоняни вважали 60 числом божим (60 — число вавилонських богів, причому кожного з цих богів позначено числом від 1 до 60).Шістдесят ліктів висоти має золотий ідол з храму вавилонського царя Навуходоносора (604-562/561 до н.е.). Пізніше з тим самим значенням (незліченої множини) виникли числа, кратні 60 : 300, 360. Давньоперсидський цар Ксеркс (486-465 до н. е.) 300 раз ударив Геллеспонта. Кір, теж давньоперсидський цар — 558-529 до н. е., глибоку річку Гіндес, в якій утопився один з його любимих коней, поділив на 360 рукавів. В одній персидській пісні співається про 360 корисних застосувань пальми.
Цей народ користувався 60-ковою СЧ. Запис чисел у такому випадку значно спрощувався: окремі знаки використовували для цифр від 0 до 59 (у 10-ковій аналог запису від 0 до 9). Позиційність проявлялася в тому, що перша цифра справа означала кількість одиниць, друга – кільк. шістдесяток, третя - кільк. шістдесяток в квадраті і т. д..
Це точно як і в нашій 10-ковій: наприклад: 3 245=5+4*10+2*10^2+3*10^3. Звідси й випливає спосіб переведення чисел із n-кової в 10-кову: Переведення числа a (яке в СЧ з основою n, з цифрами: аk,… a2, a1, a0):
(цифри аk,… a2, a1, a0 < n ).
Розглянемо типовий приклад №1 перетворення числа із 60-кової СЧ в 10-кову:
Слід зауважити, що
Отож, мова йшла про 60-кову СЧ. Її використовують й сьогодні як у науці, так і в повсякденному житті: традиційно годину ділять на 60 хв, хвилину на 60 с і т. д.; градус – на 60 мінут…
Розглядаючи прикл.№1 можна побачити недолік 10-кової СЧ: її незручно використовувати для запису великих чисел, але для цього в математиці придумано стандартний вигляд числа. Великою перевагою 60-кової СЧ є те, що її основа - 60 ділиться на 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 15 , 20 і 30 . Ця властивість значно спрощує дробові обчислення. Також великим недоліком 60-кової СЧ є громіздка таблиця множення (3 600 результатів, для порівняння, у 10-ковій їх 100).
Із астрономії 60-кові дроби ніколи повністю не зникали, але в інших областях точних наук використовуються вони тепер рідше. І зараз, коли ми записуємо 2год32хв55с, то також використовуємо 60-кову систему числення.
Проте найдавнішою з усіх була, мабуть, лічба парами, тобто по 2. Дуже ймовірно, що саме 2-ковою СЧ на початках користувалися древні єгиптяни. Про це свідчать винайдені ними способи множення та ділення чисел, що ґрунтуються на послідовному подвоєнні одного з множників та дільника і тому не потребують таблиці множення.
Австралійські аборигени рахували двійками, деякі племена мисливців-збирачів Нової Гвінеї і Південної Америки теж користувалися 2-ковою СЧ.
Про практику лічби парами в Давній Русі свідчить те, що у старослов’янській мові поряд з одниною та множиною для відмінювання іменників існувала ще й особлива форма двоїни.
Хто б тоді міг подумати, що така примітивна нумерація колись стане ”робочою” системою.
Теоретичні аспекти арифметики у 2-ковій СЧ розробив німецький вчений Г.В.Лейбніц (1646-1716) ще у далекому 1672 році. Він бачив перевагу даної СЧ у перетворенні необхідних арифметичних дій до найпростішої форми. Так, у цій СЧ надзвичайно просто виконувати арифметичні операції: таблиці множення й додавання містять лише 2 результати: 1+1=10, 1*1=1. Як приклад, розглянемо:
Як видно, запис чисел тут дещо громіздкий, але, тим не менше, цій СЧ знайшлося застосування у комп’ютерній техніці: кожен 2-ковий розряд моделюється електронним пристроєм, де наявність струму відповідає цифрі 1 , а його відсутність – 0. Спочатку такими пристроями були електромеханічні реле, потім різні види електронних вічок.
Зараз в інформатиці використовують 8-кову та 16-кову (кольори, шрифти і т. д.).
Далі розглянемо 12-кову (дуодецимальну) СЧ.
12-кова СЧ була створена ще давніми шумерійцями (5 тисячоліття до н.е.).
Вона теж є позиційною. Знову ж у цій СЧ спрощуються дробові обрахунки, оскільки 12 ділиться без остачі на 2, 3, 4 і 6, а число 10 (основа 10-кової СЧ) без залишку ділиться тільки на 2 і 5. Даною нумерацією користувалися, в основному, в західній Європі. Перехід до 12-кової СЧ пропонувався в часи Великої французької революції (1789—1799) на засіданнях Революційної комісії з ваг і мір.
Елементом 12-кової системи в сучасності може служити рахунок дюжинами. Перші три степені числа 12 мають власні назви:
1 дюжина = 12 штук,
1 гросс = 12 дюжин = 144 штуки,
1 маса = 12 гроссів = 1728 штук.
Також і сьогодні в деяких країнах для одиниць вимірювання, грошових систем використовують цю СЧ:
У футі 12 дюймів,
У тройському фунті 12 тройських унцій,
Максимальна сила вітру за шкалою Бофорта складає 12 балів,
Шкала балльності, що характеризує ефект дії землетрусу на поверхні має межу 12 балів.
До грошової реформи Великобританії 1971 року 1 шилінг складав 12 пенсів,
В році 12 місяців, Зодіак місить 12 знаків.
Такою системою користуються ще и тепер деякі племена Судану.
Вживання 12-кової СЧ, як і 10-кової, можна пояснити особливістю будави людської руки: 4 пальці однієї руки мають рівно 12 суглобів.
І на закінчення ще про 5-кову СЧ
Явно виражену практичну лічбу п’ятірками описав у ХІХ столітті відомий мандрівник Микола Миколайович Миклухо-Маклай (1846-1888 ). За його свідченням, улюблений спосіб лічби у жителів Нової Гвінеї полягав у тому, що „ папуас загинає один за одним пальці руки, причому вимовляє певний звук, наприклад, „бе, бе, бе” ... Долічивши до п’яти він говорить „ ібон-бе” ( рука ). Потім він загинає пальці другої руки, поки не доходить до „ ібон-алі” ( дві руки ). Потім іде далі, поки не доходить до „ самба-бе” і „самба-алі” (одна нога, дві ноги). Якщо потрібно рахувати далі, папуас користується пальцями рук і ніг кого-небудь іншого”.
Сліди 5-кової СЧ збереглися в римській письмовій нумерації. Про це свідчить наявність у ній індивідуальних знаків для чисел 5, 50, 500 – відповідно V, L і D. Форма знака V нагадує кисть руки з витягнутими пальцями. А знак Х для числа 10 у цій системі нагадує і об’єднання двох перехрещених рук, і просте об’єднання двох менших знаків для числа V.
