Феноменологія у побудові математичних моделей

Феноменологія — напрям філософських досліджень початку XX-го століття. Найвизначнішим представником феноменології був Едмунд Гуссерль. Термін «феноменологія» походить від грецьких слів phainómenon, яке означачає «те, що з'являється» і lógos — вивчення. У викладі Гуссерля феноменологія в основному розглядає та вивчає структури свідомості й явища, які в ній відбуваються. Цей розгляд повинен відбуватися з точки зору «першої особи», але вивчаються явища не так, як вони постають перед моєю свідомістю, а перед будь-якою свідомістю. Гуссерль вірив у те, що збудована таким чином наука про явища, феноменологія, може забезпечити міцну основу для усього людського знання включно із знанням науковим. Таким чином філософія могла б отримати статус строгої науки.

  Перші ж кроки феноменологічної філософії пов'язані з ім'ям Е. Гуссерля - математика, логіка, філософа, і виросли безпосередньо з Психологічного Мюнхенського Союзу, який працював на самому початку ХХ століття. За зразком мюнхенського, створюється філософський клуб в Геттінгені. У 1910-1912 роках Гуссерль закладає фундамент історії феноменології, а з 1939 року в Бельгії, куди були вивезені основні рукописи Гуссерля і створений гуссерлевскій архів, починає видаватися "Гуссерліана", - повне зібрання творів філософа з коментаріями.
  Відразу слід зазначити, що та предметна область, яку досліджує феноменологія, є новою галуззю, а тому не має несуперечливо сформованого категоріального апарату філософії. У цьому і тільки в цьому полягає складність розуміння проблем, піднятих Е. Гуссерль і розв'язуваних його послідовниками. Але мова-то йде про нашій свідомості, про те, чи знаємо ми, що таке нашу свідомість, чи можемо ми зрозуміти іншу людину, наділеного таким же свідомістю (або не таким?), і якщо ми не розуміємо іншого, то що саме ми не розуміємо, що не можемо усвідомити нашою свідомістю і, нарешті, чи вміємо ми  цим користуватися.

Феноменологічна модель

   Феноменологічна модель містить механізм для опису явища. Однак цей механізм недостатньо переконливий, не може бути достатньо підтверджений наявними даними або погано узгоджується з наявними теоріями і накопиченим знанням про об'єкт. Тому феноменологічні моделі мають статус тимчасових рішень. Вважається, що відповідь все ще невідомий і необхідно продовжити пошук "істинних механізмів". До другого типу Пайерлс відносить, наприклад, моделі теплорода і кваркової модель елементарних часток. 
   Роль моделі в дослідженні може змінюватися з часом, може статися так, що нові дані і теорії підтвердять феноменологічні моделі і ті будуть підвищені до статусу гіпотези. Аналогічно, нове знання може поступово прийти в суперечність з моделями-гіпотезами першого типу і ті можуть бути переведені у другій. Так, Кваркова модель поступово переходить в розряд гіпотез; атомізм у фізиці виник як тимчасове рішення, але з ходом історії перейшов у перший тип. А ось моделі ефіру, пройшли шлях від типу 1 до типу 2, а зараз знаходяться поза наукою. 
   Ідея спрощення дуже популярна при побудові моделей. Але спрощення буває різним. Пайерлс виділяє три типи спрощень в моделюванні.

Поняття моделі та моделювання. Властивості та класифікація моделей.

Натурний експеримент (Natural experiment), тобто дослідження властивостей та поведінки об’єкта керування в певних умовах використовуючи сам об’єкт, є важливою складовою у сферах проектування та управління. Однак у багатьох випадках натурне моделювання є неможливим або недоцільним. Наприклад експерименти на об’єкті керування при управлінні технологічними процесами у режимі реального часу, проектуванні складних систем та пристроїв можуть бути економічно недоцільні або неможливі через неготовність самого об’єкту. Модель (від лат. modulus – міра, зразок, норма) – це об’єкт-замінник, створений з метою відтворення при певних умовах суттєвих властивостей об’єкта-оригіналу. Модель може бути представлена фізичним об’єктом, подібним до оригіналу, або описом об’єкта у вигляді математичних формул, тексту, комп’ютерної програми. Метою моделювання є здобуття, обробка, представлення і використання інформації про об'єкти, які взаємодіють між собою і зовнішнім середовищем; а модель тут виступає як засіб пізнання властивостей і закономірностей поведінки об'єкту. Основним призначенням моделі в задачах управління є прогноз реакції об’єкту на керуючі впливи. Крім того, моделі використовуються для дослідження об’єкта, аналізу його чутливості. Основні властивості моделей: • цілеспрямованість; • скінченність; • спрощеність; • повнота; • адекватність.

Цілеспрямованість моделі полягає в тому, що вона завжди будується з певною метою. Ця мета має вплив на те, які властивості об’єктивного явища вважаються істотними, а які – ні. Модель є, як би мовити, проекцією об'єктивної реальності під певним кутом зору. Наприклад, моделі вищого навчального закладу як інформаційної, фінансової, енергетичної та соціальної системи будуть зовсім різними. Інколи, залежно від мети, можна отримати ряд проекцій об'єктивної реальності, що вступають у протиріччя. Це характерно, як правило, для складних систем, в яких кожна проекція виділяє суттєве для певної мети з безлічі несуттєвого. Задача моделювання полягає в тому, що для заданого об’єкта потрібно підібрати такий опис, який у повній мірі відображав би оригінал з точки зору заданої мети моделювання. Скінченність моделі визначає те, що модель відтворює лише скінчену кількість властивостей та відношень, і через це модель завжди є більш простою, ніж оригінал. Повнота моделі полягає в тому, що вона має відображати всі істотні з точки зору мети моделювання властивості оригіналу. Необхідною умовою для переходу від дослідження об’єкта до дослідження моделі і подальшого перенесення результатів на об’єкт дослідження – вимога адекватності моделі і об’єкта.Адекватність – це відтворення моделлю з необхідною повнотою всіх властивостей об’єкта, важливих для цілей даного дослідження Це, мабуть, найголовніша властивість моделі, яка визначає можливість її використання. Оскільки будь-яка модель простіша за оригінал, ніколи не можна говорити про абсолютну адекватність, при якій модель за всіма характеристиками відповідає оригіналу. Модель називається ізоморфною (однаковою по формі), якщо між нею і реальною системою існує повна поелементна відповідність, і гомеоморфною, якщо існує відповідність лише між найбільш значними складовими частинами об'єкту і моделі. Моделювання (Modeling) включає створення, дослідження та використання моделей об’єктів. Методи моделювання широко використовуються в різних сферах людської діяльності, особливо в сферах проектування і управління, де основними є процеси ухвалення ефективних рішень на основі інформації, що отримується. Метою моделювання є здобуття, обробка, представлення і використання інформації про об'єкти, які взаємодіють між собою і зовнішнім середовищем; а модель тут виступає як засіб пізнання властивостей і закономірностей поведінки об'єкту. Теорія моделювання є розділом науки, що вивчає способи дослідження властивостей об'єктів (оригіналів) на основі заміщення їх іншими об’єктами (моделями). Вирізняють натурні, фізичні, мовні та математичні моделі. Зупинимося на одному з найбільш універсальних видів моделювання – математичному, що ставить у відповідність модельованому фізичному процесу систему математичних співвідношень, вирішення якої дозволяє отримати відповідь на питання про поведінку об'єкту без створення фізичної моделі, яка часто є дорогою і малоефективною. Отже, математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, об'єкту або системі. На підставі різних критеріїв класифікації, виділяють наступні види моделей: • динамічні або статичні; • детерміновані або стохастичні; • неперервні, дискретні або дискретно-неперервні; • лінійні чи нелінійні; • з розподіленими або зосередженими параметрами; • аналітичні, імітаційні чи комп’ютерні. Динамічні моделі (dynamic models) відтворюють поведінку нестаціонарних об’єктів, що змінюються у часі. Статичні моделі описують стан об’єкта у деякий момент часу. Такі моделі розробляються для стаціонарних об’єктів, зміни яких у часі не є істотними стосовно періоду розробки та використання моделі. Детерміновані моделі (deterministic models) використовують для опису процесів, що не містять істотної випадковості. Наприклад, поведінку більшості технічних систем можна охарактеризувати за допомогою так званих фазових змінних – фізичних величин типу потоку і потенціалу. При цьому доцільно виділити в об'єктах моделювання досить великі елементи, що розглядаються як неділимі одиниці. Закони функціонування елементів системи задаються компонентними рівняннями, що зв'язують різнорідні фазові змінні. Загальність опису процесів, що відбуваються в різних технічних системах, дозволяє виділити декілька типів елементів: R – елемент розсіювання енергії; С і L – елементи накопичення енергії. Поєднанням цих простих елементів і джерел фазових змінних отримують еквівалентну схему технічної системи будь-якої складності і її математичну модель. Конкретний зміст фазових змінних і простих елементів фізичних систем наведений у таблиці. 1.1.

Для моделювання нестаціонарних імовірнісних процесів використовують стохастичні моделі (stochastic models). Якщо об’єкт моделювання стаціонарний і піддається випадковим впливам, то модель називають статистичною. Наприклад, для моделювання функцій перетворення вимірювальних пристроїв досить скористатися детермінованим способом опису, тоді як для аналізу похибок, оцінки інформаційних характеристик необхідно застосувати ймовірнісно-статистичні методи. Неперервні моделі (continuous model) представляють системи з неперервними процесами, а дискретні моделі відображають поведінку систем з дискретними станами. Дискретно-неперевні моделі використовуються, коли на об’єкті виділяються обидва типи процесів. Якщо при описі моделі використовуються лише лінійні математичні конструкції (наприклад, лінійні алгебраїчні рівняння), то модель називають лінійною, інакше – нелінійною. Моделі з розподіленими параметрами (models with distributed parameters) описують просторове поширення явищ, а моделі з зосередженими параметрами нехтують просторовою складовою. Динамічні неперервні детерміновані моделі з розподіленими параметрами використовують апарат диференціальних рівнянь у частинних похідних, а з зосередженими параметрами – звичайних диференціальних рівнянь. Для аналітичних моделей (analytical models) властиво те, що процеси функціонування об’єкта представляються у вигляді аналітичних математичних залежностей: алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь або їх систем, логічних умов. Наприклад, закон Ома чи рівняння Максвелла. Дослідження аналітичних моделей можливе за допомогою методів: • аналітичних; • чисельних; • якісних. • Аналітичні методи полягають у пошуку явних залежностей між характеристиками. Однак такі залежності можливо отримати лише для невеликої кількості простих моделей, як правило, лінійних. Інколи виконують спрощення моделей для отримання можливості вивчити хоча б загальні властивості об’єкта. Чисельні методи (numerical methods) дозволяють отримати розв’язок аналітичних моделей, для котрих застосування аналітичних методів неможливо або недоцільно. Розв’язок чисельними методами здійснюється для конкретних вихідних даних і має додаткову похибку. Детальніше питання похибок чисельних методів розглядається у підрозділі1.5. Якісні методи дозволяють зробити певні висновки по моделі, не маючи розв’язку у явному вигляді. Наприклад, такі методи використовуються у теорії автоматичного управління для оцінки ефективності різних варіантів систем управління. Імітаційне моделювання (simulation) передбачає представлення моделі у вигляді алгоритму та комп’ютерної програми, яка дозволяє відтворити поведінку об’єкту. Імітаційні моделірозглядаються як експерименти, що проводяться на комп’ютерах, з математичними моделями, що імітують поведінку реальних об'єктів. При цьому імітуються елементарні явища, що складають процес, зі збереженням їх логічної структури та послідовності у часі, що дозволяє отримати відомості про стан системи у певний момент часу та оцінити характеристики системи. Імітаційні моделі дозволяють вирішувати більш складні задачі, ніж аналітичні. Наприклад, вони дозволяють досить легко враховувати вплив випадкових факторів. Традиційно під моделюванням на ЕОМ розумілося лише імітаційне моделювання. Але завдяки розвитку графічного інтерфейсу та графічних пакетів значного поширення набуло комп’ютерне структурно-функціональне моделювання, а також розпочалося використання комп’ютера з метою концептуального моделювання, наприклад для побудови систем штучного інтелекту. Під комп’ютерною моделлю (computer model) найчастіше розуміють: • умовний образ об’єкта чи деякої системи об’єктів (або процесів), описаних за допомогою взаємозалежних комп’ютерних таблиць, схем, діаграм, графіків, малюнків, анімаційних фрагментів, гіпертекстів і т. ін., що відбивають структуру та взаємозв’язки між елементами об’єкта чи системи. Комп’ютерні моделі такого типу називають структурно-функціональними; • окрему програму, сукупність програм чи програмний комплекс, що дає змогу виконанням послідовності обчислень з подальшим графічним відображенням їх результатів відтворювати (імітувати) процеси функціонування об’єкта (системи об’єктів), що функціонує під впливом різних, як правило випадкових, факторів (імітаційну модель).

Інколи застосовується комбіноване (аналітико-імітаційне) моделювання, яке полягає в тому, що об’єкт декомпозується на окремі підсистеми. Для тих підсистем, для яких це можливе, використовуються аналітичні моделі, а для інших розробляються імітаційні моделі. Розробка моделей поєднує в собі науку і мистецтво. На жаль, немає чіткого формального алгоритму, який би дозволив побудувати модель для будь-якого об’єкту. Тому далі розглядаються лише певні методичні рекомендації щодо розробки моделей.