Класифікація квазілінійних систем
Поняття характеристик дозволяє класифікувати рівняння математичної фізики. Розглянемо систему рівнянь у приватних похідних першого порядку, символічно представимо у вигляді (картинка) Тут u і f є n-мірні вектори невідомих і відомих функцій відповідно; С - матриця коефіцієнтів, що залежать від x, t. Ця система - майже лінійна. Систему (1) зведемо до одного рівняння n-го порядку і n-1 зв'язкам. Поставимо задачу відшукання умов розв'язності задачі Коші поблизу кривої g в площині x, t. Для знаходженням перших похідних поблизу цієї кривої систему (1) слід доповнити рівняннями (картинка) Розв'язність цього завдання пов'язана з визначником (картинка) Тому характеристиками є криві, що задовольняють рівнянням dx / dt = k (x, t), в яких поля коефіцієнтів локального нахилу характеристик k (x, t), очевидно. Суть власні числа матриці С. Спектр похідної матриці з дійсними коефіцієнтами в загальному випадку є підмножина комплексних чисел. Якщо спектр дійсний і простий у будь-якій точці даної області, то система (1) називаеться (5)гіперболічною. Якщо спектр комплексний (звичайно, якщо n парне), то система – (6)еліптична. В інших випадках будови спектра система називається параболічної. Таким чином, тільки гіперболічні системи мають інваріантну систему координат, що складається з характеристик.
Слово "інваріантний" означає зв'язаність з самим рівнянням, а не з його конкретним записом в тій чи іншій системі координат. Для таких систем має сенс завдання Коші у відкритій області, узгодженої з розташуванням поля характеристик, і не мають сенсу постановки в обмежених областях. Гіперболічні системи описують поширення збурень з кінцевою швидкістю. Для еліптичних систем характеристики відсутні, і мають сенс тільки завдання на замкнутої області (хай і нескінченної), а умови на кордоні називаютя крайовими. Збурення граничних умов поширюються цими системами миттєво ("дифузійним механізмом"). (7)Приклад еліптичної системи - рівняння Лапласа
Для цього рівняння другого порядку розрізняють задачу Діріхле (на кордоні задано значення функції), завдання Неймана (на кордоні задана похідна по нормалі до кордону) і змішану задачу. Параболічні системи, що мають поле характеристик, не утворить систему координат, допускають постановки в відкритій області, узгодженої з розташуванням характеристик. Тобто крайові ("початково-граничні") завдання для параболічних систем можуть мати сенс, а можуть і не мати його. (8)Наприклад, рівняння дифузії (теплопровідності) з умовами, заданими в області описує розподіл субстанції v по простору: початкові особливості з часом згладжуються. Але якщо поставити завдання на області з спочатку гладкого профілю протягом зворотного ходу часу неминуче будуть виникати особливості, тобто вирішення такого завдання будуть нестійкими. Завдання, в яких потрібно встановити "минуле" по справжньому, відносяться до некоректних по Адамара завданням. Коректність по Адамара означає існування, єдиність і стійкість рішення (в даному випадку по відношенню до обурення початкових умов). Причина таких властивостей параболічного рівняння дифузії криється в його неінваріантни по відношенню до заміни.
Класифікація систем з використанням характеристик обощаются на квазілінійних системи (тобто системи диференціальних рівнянь, лінійні відносно старших похідних, але містять в коефіцієнтах шукані функції та їх похідні нижчих порядків) і на системи з числом незалежних змінних більше двох (тоді характеристики є вже поверхнями) . Досліджуємо, наприклад, систему (1) є квазілінійної, вважаючи початкові "обурення" кінцевими. Введенням функції тиску (картинка) ця система зводиться до наступного: (картинка) За зразком, даному для квазілінійних систем (додаючи до незалежних змінних v), або елементарними складанням і відніманням рівнянь отримуємо: (картинка) Очевидно, характеристиками системи будуть криві (12)(картинка) , на яких постійні відповідні величини (картинка) Тут на відміну від системи, яка описує малі обурення, а являє собою поле місцевої швидкості звуку, (картинка) -- відносні швидкості поширення хвиль по газу. Уздовж першого сімейства характеристик поширюється хвиля розрідження, вздовж другого - хвиля стиснення.
