Самоорганізація та структури у нелінійних середовищах

Лінійне хвильове рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): v_N (t,x,y)=∬v(t,x^',y^;)g_N (x-x^;,y-y^;)dx^' dy^~~-(1.3)

прекрасно описує поширеня звуку, коли його гучність невелика (при цьому швидкість звуку не залежить від гучності).  Якщо звук дуже  голосний, наприклад від вибуху, то може виникнути ударна  хвиля. Її  швидкість залежить  від різниці тисків за хвилею і перед нею. Для опису такої поведінки потрібна формулювати  нелінійну модель. Однак отримання рішення та якісне дослідження нелінійної моделі вимагає інших підходів, оскільки навіть мала нелінійна добавка якісно змінює ситуацію: сума двох рішень вже не задовольняє рівнянню . Принцип суперпозиції «не працює» й «зшити» "спільне рішення з приватних вже не вдається.

Досліджуємо, до яких якісних змін призводить появи ще не лінійності в найпростіших математичних моделях на прикладі рівняння теплопровідності , по виду збігається з рівнянням дифузії (1.10). Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): /frac{/partialT}/∂t=k (∂^2 T)/(∂x^2 )~~~~~~~~~(1.13)

де k> 0 – коефіцієнт теплопровідності, Т> 0 – температура . Воно описує передачу тепла, дифузію частинок, проникнення магнітного поля в плазму і деякі інші процеси.