Функції Беселя цілого порядку

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження рішень рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндрових і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при рішенні багатьох задач про розповсюдження хвиль, статичні потенціали тощо, наприклад:

електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;

-теплопровідність в циліндрових об'єктах;

-форми коливання тонкої круглої мембрани

-швидкість частинок в циліндрі, що заповнена рідиною і обертається навколо своєї осі.

Функції Бесселя застосовуються і в рішенні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.

Функції Бесселя цілого порядку.

Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}} (ряд Лорана)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}={J_{0}(z)}+\sum^{\infty}_{m=1}(S^m+(-S)^{-m})^{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}{J_{m}(z)}

або як коефіціент рядів Фур'є:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\cos(z\mathrm{sin}\, t)={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}\mathrm{cos}\, kt}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\sin(z\mathrm{sin}\, t)=2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k-1}(z)}\sin{(2k-1)}t}

або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\pm{iz\mathrm{sin}}\, t}=\sum^{\infty}_{m=\infty}{J_{m}(z)}e^{-imt}}

Часткові випадки:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {z^n=2^n\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(m+2k)(n+k-1)}{k!}{J_{2k+n}}}

Z беретьсь з множини комплексних чисел. Файл:600px-BesselJ plot.svg

Умови ортогональності функції Бесселя.

Нехай є нулі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu_{i}}

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu_{k}}
функції Бесселя  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{J_{m}(x)}}

. Тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\int_0^1{J_{m}}(\mu_{i}x){S_{m}}(\mu_{k}x)tdx:=\begin{cases} 0, \mbox{i}\neq{k} \\ \frac{1}{2}{J^2_{m+1}}({\mu{i}}),i=k, \end{cases}}

Ряд Фур'є-Бесселя для довільної функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)}

 на [0,1] мае вигляд:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)\thicksim \sum^{\infty}_{k=1}{a}{k}{J_{m}}(\mu_{k}x)}

(нулі функції).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{a}{k}=\frac{2}{{J_{m+1}}(\mu_{k})}\int_1^t{t}{f}(x){J_{m}}(\mu_{k}{t})dt} .