Теорема про диференціювання

Теорема про диференціювання

• Преобразование Фурье и дифференцирование. Если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f,\;f'\in L_1(\R)

, то

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.

Из этой формулы легко выводится формула для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n -й производной:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = {-i\alpha}F(\alpha).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).

Доведення :

Формулу для n-тої похідної доведемо методом математичної індукції:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt) ={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt ={-i\alpha}F(\alpha).