Наближене обчислення коефіцієнтів ряду Фур'є
Ряд Фур’є На практиці часто доводиться мати справу з періодичними процесами, що описуються кусково-гладкими функціями. Такі функції подають не степеневими, а тригонометричними рядами. Означення. Функція називається такою, що задовольняє умови Діріхле на відрізку , якщо на цьому відрізку виконуються такі умови:
1.Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
має скінченне число розривів першого роду;
2.Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
має скінченне число екстремумів;
3. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}\
для x є (a,b).
Класичне визначення
Тригонометричним рядом Фур'є називають функційний ряд виду
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big]
Якщо ряд збігається, то його сума дорівнює періодичній функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f(x)
з періодом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ 2\pi
, оскільки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sin nx
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \cos nx є періодичними з періодом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ 2\pi
.
Сталі числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_0, a_n, b_n \;\; (n \in \mathbb{N})
називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n= \frac1{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx, \qquad b_n= \frac1{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx.
Загальне визначення
Нехай дано ортогональну систему в Гільбертовому просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): R
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f — довільний елемент з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): R
. Послідовність чисел
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k =\frac{\langle f, \varphi_k \rangle}{||\varphi_k||^2}
називається координатами, або коефіцієнтами Фур'є елемента Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f
по системі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{\varphi_k\}
, а ряд
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_k c_k \varphi_k
називається рядом Фур'є елемента Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f
по ортогональній системі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{\varphi_k\}
.
Справедлива так звана нерівність Бесселя:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le ||f||^2.
Якщо виконується рівність Парсеваля
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{k=1}^\infty c_k^2 = ||f||^2
, то нормована система Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{\varphi_k\}
називається замкненою.
Справедливе твердження: в сепарабельному евклідовому просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): R
будь-яка повна ортогональна нормована система є замкненою і навпаки.
Ряди Фур'є для парних і непарних функцій
Нехай f(x) - парна функція з періодом 2L , що задовольняє умові f(-x) = f(x) .
Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) dx = \frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) dx
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{\pi nx}{l} dx = \frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) \cos \frac{\pi nx}{l} dx
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{\pi nx}{l} dx =0
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n=1,2, . . .
Таким чином, в ряді Фур'є для парної функції відсутні члени з синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2L
виглядає так:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{\pi nx}{l}
Нехай тепер Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
— непарна функція з періодом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2L
, що задовольняє умові Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(-x)=-f(x)
.
Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=\frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) \sin \frac{\pi nx}{l} dx , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n=1,2, . . .
Таким чином, в ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2L
виглядає так:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{\pi nx}{l}
Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\pi, \pi]\! то
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) ,
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) dx
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx
Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [0,L]
, то довизначивши задану функцію Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
відповідним чином на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-L,0]
- після чого періодично продовживши на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (T=2L)
, отримаємо нову функцію, яку розкладаємо в новий ряд Фур'є.
Для розкладу в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінцевому довільному проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [a,b] , треба: довизначити Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [b,a+2L]
і періодично продовжити, або довизначити на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [b-2L,a] і періодично продовжити.
