Функції Беселя цілого порядку

Функції Бесселя цілого порядку.

Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}} (ряд Лорана)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}={J_{0}(z)}\neq\sum^{\infty}_{m=1}(S^m+(-S)^{-m})^{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}{J_{m}(z)}

або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\cos(z\mathrm{sin}\, t)={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}\mathrm{cos}\, kt}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\sin(z\mathrm{sin}\, t)=2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k-1}(z)}\sin{(2k-1)}t}

або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e\pm{iz\mathrm{sin}\, t}=\sum^{\infty}_{m=\infty}{J_{m}(z)}e^{-mt}}

Часткові випадки:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {z^n=2^n\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(m+2k)(n+k-1)}{k!}}

Z беретьсь з множини комплексних чисел.

Умови ортогональності функції Бесселя.

Нехай є нулі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu{i}}

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu{k}}
функції Бесселя  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{J_{m}(x)}}

. Тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\int_0^1{J_{m}}(\mu{i}(x)){S_{m}}(\mu{k}(x))tdx:= }

Гіпергеометричний ряд

Функції Бесселя можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію:

   J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} {}_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).