Сферичні функції Беселя

Функції Бесселя в математиці - сім'я функцій, які є канонічними розв'язками диференціального рівняння Бесселя:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha  — довільне дійсне число, яке називається порядком.

Сферичні функції Бесселя: j_n, y_n

Файл:Spherical Bessel j Functions (n=0,1,2).svg

Spherical Bessel functions of 1st kind, j_n(x), for n = 0, 1, 2

Файл:Spherical Bessel y Functions (n=0,1,2).svg

Spherical Bessel functions of 2nd kind, y_n(x), for n = 0, 1, 2

При розв'язанні рівняння Гельмгольца в сферичних координатах методом відокремлення змінних, радіальне рівняння має наступний вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0.

2 лінійно незалежних розв'язки цього рівняння називается сферичными функціями Бесселя j_n and y_n, і пов'язані із звичайними функціями Бесселя J_n and Y_n

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).