Функції Беселя цілого порядку

Циліндричними функціями - називається розвиток рівняння Бесcеля. У 17 пункті отримано першу циліндричну функцію - функція Бесcеля I роду у вигляді степеневого ряду. Цю функцію можна записати через γ-функцію:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {J_{m}(z)}=\int_0^\infty {e}^{-t}{t}^{z+1}dt\Rightarrow {I_m(z)}=(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!J(m+k+1)}

Ще однією циліндричною функцією( розв'язком рівняння Бесcеля) є функція Бесcеля I роду

Функція Неймана (або Бесcеля I роду):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}=\frac{1}{sinm\pi}[J_m(z)cos\pi-J_{-m}(z)]

якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m \not\in \mathbf{Z}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}={(-1)}^mN_{-m}(z)=\frac{2}{\pi}J_m(z)(\ln\frac{z}{2}+c)-\frac{1}{\pi}(\frac{z}{2})^m\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^k}{k!(m+k)!}(\frac{z}{2})^2k(\sum^{k}_{i=1}\frac{1}{i}+\sum^{m+k}_{i=1}{\frac{1}{i}})-{\frac{1}{\pi}}{(\frac{z}{2})^{-m}}\sum^{m-1}_{k=0}\frac{(m-k-1)!}{k!}(\frac{z}{2})^2k

якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m \not\in \mathbf{Z}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c=-\int_0^\infty {e}^{-t}lntdt=0.577216

, с - стала Ейлера-Маскероні.

На основі функцій Бесcеля I та II роду можна побудувати іншу пару циліндричних функцій

Функція Генкеля I роду:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)=J_{m}(z)+iN_{m}(z)

Функція Генкеля II роду:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)=J_{m}(z)-iN_{m}(z)

Кожна циліндрична функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{Z_{m}(z)}

порядку m може бути представлена як лінійна комбінація Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_{m}(k)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~N_{m}(k)
або лінійними комбінаціями :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~Z_{m}(z)=aJ_{m}(z)+b\Nu_{m}(z)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~Z_{m}(z)=\alpha{H_m}^{(1)}(z)+\beta{H_m}^{(2)}(z)

Якобіан (визначник Вронського): Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~W(J_{m}(z),N_m(z))=\frac{2}{z\pi}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~W({H_m}^{(1)}(z),{H_m}^{(2)}(z))=-\frac{4i}{z\pi}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~W(J_{m}(z),J_{-m}(z))=\frac{-2sinm\pi}{z\pi}

при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m \in \mathbf{Z}, W=0, J_{m} і J_{-m} - 

лінійно залежні

Рекурентні співвідношення між функціями Бесселя:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~Z_{m+1}(z)=\frac{Z_{m}}{z}Z_{m}(z)-Z_{m-1}(z)=

(відсутні похідні) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~=\frac{m}{z}Z_{m}(z)-\frac{d}{dz}Z_{m}(z)={-z}^m\frac{d}{dz}({z}^{-m}Z_{m}(z))

Циліндричні функції, порядок яких дорівнює половині непарного цілого числа, виражаються через елементарні функції

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{J_{\frac{1}{2}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{sinz}{\sqrt{z}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{J_{-{\frac{1}{2}}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{cosz}{\sqrt{z}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{J_{\frac{3}{2}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}(-\frac{cosz}{\sqrt{z}}+\frac{sinz}{z\sqrt{z}})

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{J_{-{\frac{3}{2}}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}(-\frac{sinz}{\sqrt{z}}-\frac{cosz}{z\sqrt{z}})

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{J_{k+\frac{1}{2}}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}z^{k+\frac{1}{2}}(-\frac{1}{z}{\frac{d}{dz}})^{k}\frac{sint}{z}

  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~(k=1,2,...)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{H_{\frac{1}{2}}^{(1)}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{i}\frac{e^{iz}}{\sqrt{z}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{H_{-\frac{1}{2}}^{(1)}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{e^{iz}}{\sqrt{z}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{H_{\frac{1}{2}}^{(2)}(z)}=-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{i}\frac{e^{-iz}}{\sqrt{z}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{H_{\frac{1}{2}}^{(2)}(z)}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{e^{-iz}}{\sqrt{z}}

Інтегральні представлення функції Бесселя

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{J_{m}(z)}=\frac{1}{\pi}\int_a^b cos(mt-zsint)dt

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~m=0,1,2,...

Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}} (ряд Лорана)