Застосування інтегрального перетворення Фур’є для задачі теплопровідності

Застосування інтегрального перетворення Фур’є для задачі теплопровідності

Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u( х,t ) - температура, в залежності від часу t і просторової х.Відомо, що рівняння задовільняє такому рівнянню:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_t = (a^2u_x)_x +f(x,t).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,0) = \varphi(x) = 0.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lim\limits_{x\to +\infty}u = 0.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lim\limits_{x\to -\infty}u = 0.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(\alpha,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(\alpha,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,t)e^{ix\alpha}\,dx.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{-\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx =(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{-\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx)'_t=U_t(\alpha,t).

Постановка задачі в образі просторі має вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(\alpha,t) = 0.

F - лінійне неоднорідне диференційне рівняння Розвязками цього рівняння є:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(\alpha,t)=.

 , де ___-зміна інтегрування

Це є відповіддю в прост. образи, а тепер повернемося до простору в оригіналі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(\alpha,t)e^{-ix\alpha}\,d\alpha.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ix\alpha}\,d\alpha.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,t)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi)^2}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ix\alpha}\,d\alpha.

Після перетворень і спрощень цю саму відповідь можна отримати:

Висновок

З допомогою інтегрального перетворення Фур'є задача з диференційним рівнянням частинних похідних перетворилася в задачу Коші із звичайними диференційовними рівняннями ,яка була розвязана і до розв'язку застосовуэться обернене перетворення Фур'є.Відповідь отримали у вигляді інтеграла.