Дії над рядами

Теорема

Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\sum^{+\infty}_{m=-\infty} {d}_{m}{e}^{imx}

Тоді коефіцієнти функції добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})

отримуються у вигляді згортки коефіцієнтів  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{k}
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {d}_{m}
, тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}
від добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}

Доведення.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)}\cdot{g(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}\cdot\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{c}_{k}{d}_{m}{e}^{i(k+m)x}=

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =[n=k+m; m=n-k]=

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}{e}^{inx}=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}(\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}){e}^{inx}

Отже: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}

Теорему доведено Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \blacksquare