Дивергенція,ротор і градієнт

Дивергенція — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків.

Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля не має. Таке поле називають соленоїдальним.

Визначення

Дивергенцією Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}

векторного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F}
в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S

, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}=\lim_{V \to 0}\frac{\oint_{S}\mathbf{Fn}\,dS}{V}.

В декартових координатах, використовуючи формулу Остроградського, дивергенцію поля можна записати в наступному вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=\nabla\mathbf{F},

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}

- оператор набла.

Властивості дивергенції

Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних.

• Дивергенція є лінійним оператором. Тобто для будь-яких векторних полей Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F}

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{G}

та будь-яких чисел Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b

справедливий наступний вираз:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})=a\,\operatorname{div}(\mathbf{F}) + b\,\operatorname{div}(\mathbf{G}).

• Справедливий наступний вираз для дивергенції добутку скалярного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi

на векторне Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\varphi\mathbf{F})=\operatorname{grad}(\varphi)\cdot\mathbf{F} + \varphi\,\operatorname{div}(\mathbf{F})

• Дивергенція поля, яке дорівнює векторному добутку двох полей, можна виразити через ротори кожного поля:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot\operatorname{rot}(\mathbf{G}).

• Дивергенція від градієнта скалярного поля дорівнює лапласіану від цього поля:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\operatorname{grad}(\varphi))=\mathcal{4}\varphi.

• Дивергенція ротора тотожньо дорівнює нулю:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathbf{F}))=0.

Ротор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого – орти координатних осей, друга – оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третя – координати функції, яка визначає векторне поле.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{rot} \; \mathbf{A} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{matrix} \right| = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}

З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша в даній точці саме в площині, перпендикулярній ротору.

Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенційним.