Одноетапна М-модель з імовірнісними обмеженнями. Розв’язувальні правила. Узагальнення для скінченнозначних обмежень (без доведення).

Побудуємо розв'язувальне правило для наступного завдання стохастичного програмування.Обчислити максимум функціоналу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{0}(\omega, x(\omega))

серед всіх вимірних функцій Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(\omega) , що приймають значення в множині X, і таких, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{x(\omega)\in G(\omega)\ge \alpha\} .

Тут Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\le\alpha\le 1 , а випадкова область Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G(\omega)

така, що  множина

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{x,\omega|x\in G(\omega) \}

- борелівська множина у Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X\times\Omega . (Останнє припущення означає, що багатозначна функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G(\omega)

має борелівський графік.)

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi(\omega,x)

- характеристична функція множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G(\omega)

, тобто

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi(\omega,x)=\begin{cases} 1, x\in G(\omega) \\ 0, x\notin G(\omega) \end{cases}

Розглянута задача може бути переписана в наступній еквівалентній формі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_{\Omega} \phi_{0}(\omega,x(\omega))dp\to sup,

 (1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_{\Omega} \phi(\omega,x(\omega))dp\ge \alpha,

 (2)

де p- імовірнісна міра, що визначає ймовірнісний простір Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\Omega, \sum, p) . Будемо припускати, що міра р неперервна і регулярна щодо топології Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega .

Розв'язувальне правило (критерій оптимальності) для задач (1), (2).

Для того щоб Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(\omega)

було рв'язком задач (1), (2), необхідно і достатньо існування такого

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda \ge 0 , що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(\omega)\in G(\omega)

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi_{0}(\omega,x(\omega))=\alpha(\omega)

,

якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha(\omega)+\lambda<b(\omega)

або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega \in N(\lambda) . Тут Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M(\lambda)\cup N(\lambda)=\{\omega|\lambda(\omega)+\lambda=b(\omega)\}

і 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): PM(\lambda)+r(\lambda)=\alpha_{0} . При цьому шукане Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda

визначається формулою (3)