Зв`язок неперервного та дискретного на прикладі рівняння коливання струни

Медіа:Зв’язок_неперервного_та_дискретного_на_прикладі_рівняння_коливання_струни..pdf

Питання про рух, перехід поступових кількісних змін в якісні, поява у цілого властивостей, яких не має жодна із його частинок, є одним із ключових питань сучасного фундаментального природознавства. Ці питання мають глибокі філософські коріння. Розвиток природних наук змушує ще і ще раз повертатися до них. Вчених XIX ст. вразило наявність хвильових властивостей у світла, який вони уявляли як потік дискретних частин. До глибокого перегляду фундаментальних понять привело в XX ст. створення квантової механіки. Виявилось, що дискретні і неперервні властивості матерії не можна протипоставити один одному, що вони нерозривно зв’язані між собою. Виявилась і друга важлива обставина. Аналіз багатьох явищ потребує поєднання дискретного і неперервного підходів. І питання про співвідношення тих і інших властивостей при побудові теорії виявляється далеко не простим. Від його успішного вирішення часто залежить, наскільки глибоко нам вдається розібратися в досліджуваному об'єкті. Розглянемо задачу, при рішенні якої було розвинуто ряд ключових ідей. Проведемо аналіз поведінки пружної струни, по якій ударили в початковий момент часу. Зупинимося раніше на системі, що складається з точкового вантажу масою m, до якого прикріплені дві однакові пружні горизонтальні нитки завдовжки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): l_0/2 ,натягнуті силою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_0 (сила тяжіння відсутня). При відхиленні вантажу від положення рівноваги з'являється повертаюча сила, пропорційна відхиленню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F=-2F_0 sina=4F_0 u/l_0 ,тоді згідно з другим законом Ньютона маємо: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d^2 u/dt^2+w^2u=0, w^2=4F_0/(ml_0) Рівняння описує коливання з круговою частотою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): w :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=Asinwt+Bcoswt

де константи А і B визначаються початковими положеннями і швидкістю вантажу. Ми вирішили завдання про коливання струни, уся маса якої зосереджена в центрі. Для однорідної струни з масою m і завдовжки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): l_0 це занадто глибоке наближення; розумніше замінити її набором із N кульок з масою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=m/N ,розташованих на відстані Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): h=l_0/N і сполучених нитками, натягнутими силою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_0 (так міркували, зокрема, при виведенні рівнянь коливань струни Йоганн і Данило Бернуллі). Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_k - відхилення k-ої кульки від положення рівноваги, то за умови, що різниця у відхиленнях сусідніх кульок мала, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ua_k=(mh/l_0)*(d^2u_k/dt^2)=F=F_0(u_k+1)-2u_k+u_k-1/h->d^2u_k/dt^2=(F_0l_0/m)*(u_k+1-2u_k+u_k-1/h^2

У межі при h →0 отримуємо вже відоме нам хвильове рівняння: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d^2u/dt^2-c^2*d^2u/dx^2=0, c^2=F_0l_0/m

Цей висновок рівняння уперше був зроблений Даламбером, який не лише записав вказане рівняння, але і знайшов його загальне рішення у вигляді суперпозиції двох хвиль Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=f(x+ct)+g(x-ct)

Проте використати це рішення для струни кінцевих розмірів непросто. 

Дійсно, після удару по струні управо і вліво йдуть хвилі. Вони доходять до кінців струни, відбиваються, йдуть у зворотний бік - встановлюється деякий режим, описувати який за допомогою отриманої формули незручно. Можливий інший шлях, запропонований Фур'є. Оскільки струна здійснює коливальні рухи, рішення задачі шукають у виді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=(Asinwt+Bcoswt)z(x) ,що дає у результатіНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=SUM(від беск. до n=0(A_n sinw_n t+B_n cosw_t )sin PInx/l_0

Рішення знайшлося у вигляді суперпозиції стоячих хвиль, для яких на довжині струни укладається ціле число n півхвиль. Власні значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Lamda_n

визначають, з якою частотою може коливатися струна в конфігурації n-ої стоячої хвилі, форму якої описує власна функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z_n=sin(PInx/l_0)

Знайдені рішення по виду сильно розрізняються. Рівноправність їх не 

очевидна. Це питання стало причиною дискусії в середині XVIII ст. (суперечка про струну) між Ейлером, Даламбером і Лагранжем. Дискусія дозволила переконатися не лише в еквівалентності двох рішень(адже початкове завдання має рішення і воно єдине!), але і краще розібратися в рівняннях. Рішення, отримане Фур'є, дає можливість з'ясувати співвідношення безперервного і дискретного в цьому завданні. Якщо ми маємо автомодельне рішення хвилевого рівняння у вигляді стоячої хвилі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u=c_n (t)sin(PInx/l_0),

то виявиться, що для різних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_n (t)
 виходять рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d^2C_2(t)/dt^2+w^2_nc_n(t)=0,n=0,1,2,....
Але це знову рівняння коливання. Значить, струна виявляється 

еквівалентною нескінченній безлічі незалежних вантажів, що коливаються. Цікаво і інше: у безперервній задачі, що описує коливання струни, є дискретний набір власних частот. Неперервне і дискретне знову виявляються тісно пов'язаними.