Одноетапна Р-модель з імовірнісними обмеженнями. Алгоритм побудови розв’язувального правила. Приклад.

Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega

стан природи (елементарну подію), а через  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \Omega 
‒ множину станів природи (елементарних подій). Нехай для кожного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \omega \in \Omega 
 на деякій множині Х задані множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  G_0 (\omega), (G_0(\omega)\ne X) 
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  G_i (\omega), (i=1,2,...,m) 

Розглянемо наступну загальну Р-модель з ймовірнісними умовами.

Потрібно визначити Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(\omega)\in X ,що максимізує ймовірність попадання в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_0(\omega)

умов, що ймовірність попадання в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  G_i(\omega)
не менша заданого числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_i

. Таким чином, розв'язок визначається у вигляді випадкового вектора і розв'язуване правило заздалегідь не задане.

Формально задача записується у наступному вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P{x(\omega)\in G_0(\omega)}\rightarrow sup,

      (4.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P{x(\omega)\in G_i(\omega)}\ge\alpha_i,i=1,2,...,m

   (4.2)

Введемо характеристичні функції множин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_i (\omega)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \psi_i (\omega,x)= \begin{cases}1, x\in G_i(\omega),\\ 0, x \ne G_i(\omega),\\ i=1,2,...,m \end{cases}

Тоді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P{x(\omega)\in G_i(\omega)}=\int\limits_\Omega \psi_i(\omega,x(\omega)) dp ,

Де р‒ ймовірнісна міра, що визначає ймовірнісний простір Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ( \Omega,\Sigma , p ).

 Нехай міра р неперервна.

Задача (4.1)-(4.2) прийме вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_\Omega \psi_0(\omega,x) dp \rightarrow sup,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_\Omega \psi_i(\omega,x) dp\ge\alpha_i,i=1,2,...,m

Візьмемо m=2. Сформулюємо умови сумісності задачі (4.1)-(4.2). Введемо 2 множини:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega ' = {\omega:G_1(\omega)\cap G_2(\omega)\ne \varnothing} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega '' = {\omega:G_1(\omega)\cap G_2(\omega)= \varnothing} .

Теорема 4.1. Для сумісності задачі (4.1)-(4.2) (при m=2) необхідно і достатньо, щоб:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases}\ \alpha_1 \le 1, \alpha_2 \le 1,\\ \alpha_1+\alpha_2+P\Omega '' \le 2 \end{cases}