Задача СП з розв’язувальним розподілом за умови детермінованих параметрів умов обмежень. Дискретний розв’язувальний розподіл.
Відображення (19.4) переводить множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ X \subset R ^n , в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ X \subset R^{(m+1)} . В цьому випадку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Y - не викупла і незамкнута множина. Позначемо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ co Y
випуклу множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Y
.
Задача (19.1) - (19.3) може бути записана в вигляді:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y_0 \rightarrow inf , (19.5)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y_i \le 0, i = 1,...m, , (19.6)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y = (y_0, y_1, ... , y_m)\in co Y , (19.6)
Згідно теореми Каретеодорі для побудови випуклої оболонти множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Y
із Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+1 - вимірного простору потрібно загалом не більш Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+2 точок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y \in Y
. Це значить, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ co Y
може бути представлена в вигляді:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ co Y= {\sum^{m+1}_{k=0}\phi_{i}(x_{k})p_{k}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ i = 0,1,...m, ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \ p_{k}\ge 0, ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m+1}_{k=0} p_{k}=1 ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}\in X .
Нас цікавлять тільки точки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y \in Y \subset R^{(m+1)} ,одна з координат яких Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ (y_0)
досягає свого екстремального значення. Такі точки відповідно з наслідком теореми Каратеодорі можуть бути представлені як випуклі комбінації не більш ніж Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+1
векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}\in X
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+1
чисел Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_{k}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ (k = 1,...m),
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_{k}\ge 0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1
.
Задача (19.1) - (19.3) еквівалентна, таким чином , наступній скінченномірній задачі.
Потрібно обчислити вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}
і числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_{k}
, які визначають нижню межу функціонала
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ {\sum^{m}_{k=0}\phi_{0}(x_{k})p_{k}}
- (19.8)
За умови
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ {\sum^{m}_{k=0}\phi_{i}(x_{k})p_{k}\le 0 \ i = 1,...m}
- (19.9)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}\in X, \ p_{k}\ge 0 , \ k = 0,1,...m, \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1
,(19.10)
Вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x\ast_{k}
і числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p\ast_{k}
, що становить оптимальний план задачі (19.8) - (19.10), визначають дискретний розв'язувальний розподіл вихідної задачі (19.1) - (19.3).
Для розв'язку задачі (19.8) - (19.10) використаємо ітеративний метод. Зафіксуємо довільним чином Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+1
точку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}\in X, \ k = 0,1,...m,
, і розв'яжемо отриману при цьому задачу лінійного програмування (19.8) - (19.10).
Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p ^{(1)}=(p_{0} ^{(1)},...,p_{m} ^{(1)}) , i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \lambda^{(1)}=(\lambda_{0} ^{(1)},...,\lambda_{m+1} ^{(1)}) , - розв'язок прямої і двоїстої задачі. Введемо в базис задачі новий розширений вектор умов Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ (\psi_{0}(x), \psi_{1}(x),...,\psi_{m}(x),1)^T
так, щоб значення цільового функціоналу (19.8) при цьому зменшилося.
Відповідна точка Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x\in X
повинна задовольняти умову
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{\sum^{m}_{k=0}\lambda_{i} ^{(1)}\phi_{x}+\lambda_{m+1} ^{(1)}< \-psi_{0}(x)
.
Нову точку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{m+1}
можна обчислити в результаті розв'язку допоміжної задачі.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \psi_{0}(x)=\sum^{m}_{k=0}\lambda_{i} ^{(1)}\phi_{x}\longrightarrow min ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x\in X
.
Обчислив Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{m+1} , знаходим новий розв'язок лінійної задачі (19.8) - (19.10) і двоїстої до неї і т.д.
Зрозуміло, що для реалізації інтеративного методу достатньо на кожній ітерації зберігати в пам'яті не більш Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ m+2
точек Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_{k}
.
