Система числення

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Cxemasd.jpg

Систе́ма чи́слення (англ. number (numeration) system, notation) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.

Розрізняють такі типи систем числення:

  • позиційні
  • змішані
  • непозиційні


Позиційна система

У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b>1 , яке називається основою системи числення.

Наприклад, якщо b - натуральне число (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b > 1 ), то для представлення числа x у системі числення з основою b його подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n a_k b^k

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_k 

— цілі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0 \leq a_k < b


Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.

Приклад

Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 204 = 2 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0}


Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях. Позиційна система числення має обмежену кількість символів і значення кожного символу чітко залежить від її позиції у числі. Кількість таких символів q, називають основою позиційної системи числення. Головна перевага позиційної системи числення - це зручність виконання арифметичних операцій. У системах числення з основою меншою 10 використовують десяткові цифри, а для основи більшої 10 добавляють букви латинського алфавіту. У позиційних системах числення значення кожного символу (цифри чи букви) визначається її зображенням і позицією у числі. Окремі позиції в записі числа. називають розрядами, а номер позиції - номером розряду. Число розрядів у записі числа, називається його розрядністю і зберігається з довжиною числа.

Позиційні системи числення діляться на однорідні та неоднорідні. Неоднорідні системи числення - це такі позиційні системи числення, де для кожного розряду числа основа системи числення не залежить одна від одної і може мати будь-яке значення. Прикладом є двійково-п’ятиркова система числення (система зі змішаними основами). Вони використовуються у спеціалізованих ЕОМ ранніх поколінь. Однорідна позиційна система числення - це така система числення, для якої множина допустимих символів для всіх розрядів однакова.

Змішана система

Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b 

і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{b_k\}_{k=0}^{\infty}
і кожне число Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x
представляється як лінійна комбінація:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n a_{k}b_k

, де на коефіцієнти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{k} 

(цифри) накладаються деякі обмеження.

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_k=b^k 

для деякого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b

, то змішана система збігається з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b -основною системою числення.

Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s 

секунд.

Система числення Фібоначчі

Представлення засновується на числах Фібоначчі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n f_k F_k

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_k 

— числа Фібоначчі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k\in\{0,1\}

, при цьому у записі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_nf_{n-1}\dots f_0 

не зустрічаються дві одиниці підряд.

Факторіальна система числення

Представлення використовує факторіал натуальних чисел:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=1}^n d_k k!

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq d_k \leq k .

Біноміальна система числення

Представлення використовує біноміальні коефіцієнти:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n .

Система залишкових класів

Подання числа в системі залишкових класів засноване на понятті вирахування і китайської теореми про залишки. СОК визначається набором взаємно простих модулів(M_1, m_2, \ dots, m_n(M_1, m_2, \ dots, m_n) з твором M = m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_n так, що кожному цілого числа x з відрізка [0, M - 1] ставиться у відповідність набір відрахувань (X_1, x_2, \ dots, x_n) , Де 

   x \ equiv x_1 \ pmod {m_1};
   x \ equiv x_2 \ pmod {m_2};
   ... 
   x \ equiv x_n \ pmod {m_n}.

При цьому китайська теорема про залишки гарантує однозначність подання для чисел з відрізка [0, M - 1] .

В СОК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, ділення) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілочисельним і також лежить в [0, M - 1] .

Недоліками СОК є можливість подання лише обмеженої кількості чисел, а також відсутність ефективних алгоритмів для порівняння чисел, представлених в СОК. Порівняння зазвичай здійснюється через переклад аргументів з СОК в змішану систему числення з підстав (M_1, m_1 \ cdot m_2, \ dots, m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_ {n-1}) .

Система числення Штерна-Броко

Система числення Штерна-Броко - спосіб запису позитивних раціональних чисел, заснований на дереві Штерна-Броко. [1]

Система числення майя

Майя використовували двадцяткову систему числення за одним вийнятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році. [2]

Єврейська система числення

Єврейська система числення як цифр використовує 22 буквами єврейського алфавіту. Кожна буква має своє числове значення від 1 до 400 (див. т. ж. Гематрія). Нуль відсутня. Цифри, записані таким чином, найбільш часто можна зустріти в нумерації років за іудейським календарем.

Непозиційна система

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.

Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій у якості цифр використовуються латинські букви:

Римська цифра Десяткове значення
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.

Застосування

У нумізматиці особливо велику вагу мають десяткова система, дванадцяткова (дуодецимальна), четвертна та шісткова системи. У інформаційних технологія застосовуються двійкова, десяткова, вісімкова, та шістнадцяткова системи.

Див. також

<< Розвиток систем числення

Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Система_числення&oldid=76175