Трохи історії. Системи числення
Зміст
Трохи історії
На зорі появи цифр. Давно, дуже давно це було. Людина сиділа біля водопою, сховавшись в кущах, і чекав звіра. До води підійшов олень з великими гіллястими рогами. Мисливець загнув палець на руці. Потім до водопою вийшов безрогі олень. Мисливець загнув ще один палець. Всю ніч просидів у засідці мисливець, але більше жодного звіра не побачив. Вранці він розповідав старшому одноплемінникові про свої спостереження: - Сиджу, дивлюся, вийшов до водопою рогата олень (мисливець для підтвердження поклав на долоню незграбний камінчик), а потім вийшов безрогі олень (поклав поруч з першим овальний камінець). Більше звірів не було до ранку. - Так до водопою спочатку підійшов один олень, а потім ще один? - Перепитав родич і підняв два пальці. - Так, - відповів мисливець. До наступної ночі старший зібрав велику групу чоловіків з списами. Він ретельно продумав, куди посадити одного мисливця, куди - двох, а куди й трьох. Всі були розміщені у водопою так, щоб підійшов олень потрапив в оточення. Полювання була вдалою. Цей випадок показує, що вже на зорі розвитку людського суспільства люди помічали, що різні групи предметів - звірі, мисливці, камені - можуть мати одне і те ж число: два пальці, два звіра, два камені і т. д. У наші дні про це знає будь-який першокласник. Якщо розкласти навпроти один одного, наприклад, гуртки і палички, неважко переконатися, що гуртків виявиться стільки ж, скільки паличок. Цим ми встановлюємо взаємно-однозначна відповідність. Так і первісні люди, зіставляючи одну групу (безліч) предметів з іншого (іншим множиною), бачили схожість і відмінність обох груп (множин). У той далекий час розуміння того, що одна група (безліч) може бути схожа на іншу (безліч), стало для людини величезним просуванням в його розвитку. Це було найбільшим відкриттям. Воно допомогло людям навчитися бачити взаємно-однозначна відповідність предметів двох множин, а потім і вважати ці предмети. Поступове вдосконалення життєвого укладу первісних людей сприяло виникненню у них потреби вважати, але пройшли десятки століть, перш ніж люди придбали це вміння. Спочатку людина навчилася виділяти одиничні предмети. Наприклад, зі зграї вовків, стада оленів він виділяв одного ватажка, з виводка пташенят - одного пташеняти і т. д Навчившись виділяти один предмет з безлічі інших, говорили: «один», а якщо їх було більше - «багато» Навіть для назви числа «один» часто користувалися словом, яким позначався одиничний предмет, наприклад: «місяць», «сонце». Такий збіг назви предмета і числа збереглася в мові деяких народів до наших днів. Часті спостереження множин, що складаються з пари предметів (очі, вуха, крила, руки), призвели людини до уявлення про числі два. До цих пір слово «два» на деяких мовах звучить так само, як «очі» або «крила». У деяких племенах Австралії довгий час користувалися тільки числами «один» і «два», а всі інші називали, повторюючи ці числа або кажучи «багато». В одному з австралійських племен вважали інакше. Один називали «малий», два - «булан», три - «гуліба», тобто назви мали тільки три перші числа, а інші числа, наприклад 4, називали «булан-булан» і т. д. Ці історичні факти показують, як люди вчилися рахувати. Так як в далекі часи спілкування між різними народами було ускладнено, способи рахунку та назви чисел у різних місцях однієї країни були неоднакові. З появою міст і кам'яних споруд все більше людей почали займатися писемністю і началами математики. Найбільш обізнані придумали спеціальні знаки для запису чисел. Ці знаки, що виконують роль цифр, були зручні для читання, але для їх запису було потрібно досить багато часу. Перший спосіб позначення чисел, що приходить на думку, - паличками. Що може бути легше? Одна паличка значить один, два - два і так далі. Ось одна цікава історія про таку нумерації. У березні 1917 р. жителі Ленінграда (тоді - Петрограда) були не мало спантеличені й навіть стривожені таємничими знаками, що з'явилися, невідомо як, біля дверей багатьох квартир. Поголос приписувала цим знакам різноманітні значення. Вони мали форму рисок, що чергуються з хрестами. Пішли зловісні чутки про грабіжницьких зграйках, що позначають квартири майбутніх жертв. «Комісар тимчасового уряду по м. Петрограду», заспокоюючи населення, стверджував, що «таємничі знаки, які чиєїсь невидимою рукою робляться на дверях мирних обивателів у вигляді хрестів, букв, фігур, як з'ясувалося по зробленому дізнанню, робляться провокаторами та німецькими шпигунами »; він запрошував мешканців ці знаки прати і знищувати,« а у разі виявлення осіб, які займаються цією роботою, затримувати і спрямовувати за призначенням ». Подібні знаки помічені в багатьох будинках на чорних сходах біля дверей квартир. Зазвичай знаки цього типу є у всіх хводних дверей даного будинку, причому в межах одного будинку двох однакових знаків не спостерігається. Їх похмуре накреслення, природно, внушаеат тривогу мешканцям. Між тим, сенс їх легко розкривається, якщо зіставити їх з номерами відповідних квартир. Неважко здогадатися тепер, що хрести означають десятки, а палички - одиниці; так виявилося у всіх без винятку випадках. Ця своєрідна нумерація, очевидно, належить двірникам-китайцям, не розумів наших цифр.
Старовинні способи нумерації
Більш складний спосіб позначення чисел був придуманий римлянами. Вони записували числа черточкмі, і часу для цього було потрібно менше. Вчені припускають, що римська п'ятірка - це спрощене зображення руки з п'ятьма розчепіреними пальцями, а десять - це дві складені разом п'ятірні. За старих часів на Русі цифри позначалися буквами. Для вказівки того, що знак є не буквою, а цифрою, зверху над ним ставилося спеціальний знак «~», званий «титло» (див. рис.). Тисячі позначалися тими ж літерами з «титлами», що і перші дев'ять цифр, але у них зліва внизу ставилося спеціальний знак. Десятки тисяч називалися «тьми», і їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками. Звідси походить вираз «Пітьма народу», тобто дуже багато народу. Сотні тисяч називалися «легіонами» («легеонамі»), їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками з точок. Мільйони називалися «леодрамі». Їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками з променів чи коми. Десятки мільйонів називалися «воронами» або «брехнею», і їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками їх хрестиків або ставлячи по обидві сторони букви букву К. Сотні мільйонів називалися «колодами». «Колода» мала спеціальне позначення: над буквою і під нею ставили квадратні дужки. Решта числа записувалися літерами зліва направо. При запису великих чисел, ніж тисячі, у практичній діяльності часто замість гуртків знак, що позначає тисячу, ставили перед буквами, що позначали десятки і сотні. У наведеній системі позначення чисел не йшли далі тисяч мільйонів. Такий рахунок називався «малий рахунок». У деяких рукописах авторами розглядався і «великий рахунок», що доходив до числа 10 50. Далі говорилося: «І більше від цього несть людському розуму разумети». У джерелі № 2 повідомляється, що темрявою називали 106, легеоном - 10 12, леодром - 10 24, вороному - 10 48, а колодою, найбільшим числом великого рахунку, - 10 49. У тому, що далі жовтня 1950 рахунок не вівся обидва джерела згодні. Схожа нумерація існувала у греков.Для нумерації чисел грецькі математики придумали алфавітну нумерацію. Перша літера їх алфавіту - альфа позначала 1, друга - бета - 2 і т. д. У дореволюційний час на речі, куплених у офенею або в приватних магазинах, особливо провінційних, можна було часто помітити незрозумілі літерні позначення на зразок а ві в уо. Це не що інше, як ціна речі без запиту, яку торговець позначав на товарі, але так, проте, щоб її не міг розгадати покупець. Кинувши погляд на ці букви, торговець відразу проникав у їх прихований зміст і, зробивши надбавку, називав покупцеві ціну із запитом. Система позначень була дуже проста. Торговець вибирав якесь слово, складене з 10 різних букв; найчастіше зупиняли вибір на словах: працьовитість, правосуддя, ярославец', міролюбец', Міралюбов'. Перша літера слова позначала-1, друга - 2, третя - 3 і т д; десятою буквою позначався нуль За допомогою цих умовних літер-цифр торговець позначав на товарах їх ціну, зберігаючи в строгому секреті «ключ» до своєї системи прибутків. Якщо наприклад, вибрано було слово правосуддя 1234567890 то ціна 4 р. 75 к. позначалася так: в уо.
Іноді ціна на товарі писалася у вигляді дробу, наприклад: __е тро
Це значить при ключі «працьовитість», що треба запросити 1 карб. 25 коп, собі ж книжка коштувала 50 коп. [№ 1, стор 13-14] «Нумерація» в той час давно вже була у широкому вжитку і зрозуміла була кожному, навіть неграмотному селянинові. Сходить вона, без сумніву, до глибокої давнини і споживані була не тільки у нас. Така нумерація називається «народної». Цікаво, що ця народна нумерація була колись у нас навіть узаконена: за такий саме системі, тільки більш розвиненою, повинні були вестися збирачами податей записи в податковий зошити. «Складальник, - читаємо ми в старому« Зводі законів », - приймаючи від кого-небудь з домохозяєв вносяться до нього гроші, повинен сам, або через писаря, за-писати в податковий зошити проти імені того господаря, якого числа скільки отримано грошей, виставляючи кількість прийнятої суми цифрами і знаками. Знаки оці для зведення всіх і кожного ввести повсюдно однакові, а саме: В іншому місці того ж тому «Зводу законів» знаходимо ще раз згадка про обов'язкове вживанні народних числових позначень. Наводяться особливі знаки для тисячі рублів-у вигляді шестикутної зірки з хрестом в ній, і для ста рублів - у вигляді колеса з 8 спицями. Але позначення для рубля і десяти копійок тут встановлюються інші, ніж у попередньому законі. Ось текст закону про цих так званих «ясачних знаки»: «Щоб на кожній квитанції, яка видається родовитому Старості, від якого внесено буде ясак, крім викладу словами, було показиваемо особливими знаками число внесених рублів і копійок так, щоб здають простим рахунком цього числа могли бути впевнені у справедливості свідчення *. Наведені у квитанції знаки означають: (зірка) тисяча рублів, (колесо) сто рублів, (квадрат) десять рублів, X один карбованець, ||||| | | | | десять коп., | Копійку. «Щоб не можна було зробити тут ніяких додатків, всі такі знаки окреслювати колом прямими лініями». Наприклад, 1232 р. 24 к. зображають так, як показано на малюнку. Як бачите, що вживаються нами арабські і римські цифри - не єдиний спосіб позначення чисел. За старих часів застосовувалися у нас, та ще й тепер подекуди по селах застосовуються інші системи письмового числення, віддалено схожі з римськими і зовсім не схожі з арабськими цифрами.
Поява систем числення.
Як вже було сказано, в деяких співтовариствах для рахунку використовувалися пальці рук, однак цей спосіб годився лише в межах 10. Де-не-де прогрес пішов далі: до рахунку долучали і пальці ніг, але все одно залишалася проблема з числами більше 20. Вихід знайшовся: рахувати на пальцях до 10, а потім починати спочатку, окремо підраховуючи кількість десятків. Система числення на основі десяти виникла як природний розвиток пальцевого рахунку. Існувало, однак, кілька відхилень від цієї системи. Наприклад, 4000 років тому жителі Стародавнього Вавилону використовували систему рахунку до 60. Сліди шестидесятеричной системи в наш час збереглися в розподілі години і кутового градуса на 60 хвилин, а хвилини - на 60 секунд. У міру розвитку мовлення люди почали використовувати слова для позначення чисел. Відпала необхідність показувати кому-то пальці, камінці або реальні предме-ш, щоб назвати їх кількість. Для зображення чисел стали застосовуватися малюнки, креслення або символи. Наприклад, для відповіді на питання «Скільки овець у стаді?» Досить намалювати чи накреслити групу тварин. Але вважати можна набагато швидше, застосовуючи для позначення чисел будь-які символи. Єгиптяни для чисел до 9 використовували послідовності простих штрихів і спеціальний символ - для 10. Вавілоняни мали аналогічну систему, а римляни ввели новий символ при досягненні 5. Існували і системи з окремими символами для кожної цифри до 9 включно, як в арабській системі числення, яку ми зараз використовуємо, а у греків був спеціальний символ і для 10. З'явилася десяткова система, ймовірно, в Індії. Вибір графічних зображень для цифр, зрозуміло, не є принциповим. Сучасні зображення цифр - проста стилізація древніх арабських цифр. Марокканський історик Абделькарім Боужібар вважає, що арабським цифрам у їх первісному варіанті було надано значення в суворій відповідності з числом кутів, які утворюють фігури. У десятковій системі кожна цифра несе подвійну інформацію: своє власне значення і місце, яке вона займає в записі числа (розряд). Такі системи числення називаються позиційними. Римську систему числення можна швидше назвати адитивної, оскільки чосло утворюється при додаванні і відніманні значень спеціальних значків. У адитивних системах числення виконувати арифметичні дії безнадійно - не дивно, що такі системи не прижилися. Ось запис із щоденника одного математика: «Я закінчив курс університету 44 років від роду. Через рік, 100-річним хлопцем, я одружився на 34-річній дівчині. Незначна різниця у віці - лише 11 років - сприяла тому, що ми жили спільними інтересами та мріями. Через трохи років у мене була вже й маленька сім'я з 10 дітей. Платні я отримував на місяць всього 200 рублів, з яких 1 / 10 мені доводилося віддавати сестрі, так що ми з дітьми жили на 130 руб. на місяць »і т. д. На перший погляд дивна біографія, але тільки на перший. Розберемося в чому тут справа. А вся справа в тому, що уривок написаний з використанням недесятерічной системи числення, такої звичної для більшості людей. Можна легко здогадатися, яку саме систему використовував автор. Секрет видається фразою: «Через рік (Полсен 44 років), 100-річним хлопцем ...» Якщо в від збільшення однієї одиниці числа 44 перетворюється в 100, значить цифра 4 - найбільша в цій системі числення, тобто основою системи є 5 . Трохи складніше перевести інші числа в «рідну» десяткову. Наприклад, нескладно здогадатися, що одна одиниця третього розряду дорівнює 5 в другому ступені, тобто 25 (так само в десятковій системі одна одиниця третього розряду дорівнює 100, тобто 10 2). А одиниця другого розряду дорівнює 5 1, третього - 5 0. Тепер нескладно відновити реальну біографію дивака-автора. При бажанні можна створити власну біографію в такому ж роді. Скажімо, вам 17 років. Скористаємося для запису віку четвертинної системою числення. Розділимо 17 на 4: 17: 4 = 4, залишок 1 Залишок - це і є число одиниць першого розряду. Результат цілочисельного ділення знову поділимо на 4: 4: 4 = 1, залишок 0 Тепер залишок - число одиниць другого розряду. Ну а останнє приватне - одиниці третього розряду. Тепер складемо з наших відповідей число. Отримали 101, тобто 17 жовтня = 101 4. Перешкода може виникнути внаслідок того, що в деяких випадках не буде діставати позначень цифр. При зображенні чисел в системах з підставами більше 10 може з'явитися потреба в цифрах «десять», «одинадцять» і т. д. Зазвичай для позначення їх застосовують латинський алфавіт: «десять» позначають буквою «А», «одинадцять» - буквою «В». Коли літери закінчуються, нічого не поробиш - доведеться позначати двома, трьома буквами відразу, та ще й обводити, скажімо, кружечком, щоб було видно, що це цифра, а не двозначне число. Неважко виробляти арифметичні дії в різних системах числення. Тільки треба пам'ятати, що переходити через розряд треба, коли цифра перевищує максимально допустиму в даній системі. Легко здогадатися, що для будь-якої системи така цифра на одиницю менше підстави. Зауважимо, що в самій «маленькою» із систем - двійковій - виконувати різноманітні арифметичні дії з точки зору розумового навантаження легше за все, хоча для цього знадобиться багато часу і паперу (якщо вважати стовпчиком). Ну а в цілому це справа звички. Легко довести, що в будь-якій системі числення виконуються такі положення (якщо в системі є відповідні цифри): 121: 11 = 11 144: 12 = 12 21 • 21 = 441.
Різні пристосування для запам'ятовування чисел.
Ймовірно, самий древній спосіб запам'ятовування чисел - камінчиками. Скільки камінчиків - стільки речей треба запам'ятати. Коли камінців не стало вистачати, людина придумала розрядність (системи числення). Число в такому вигляді записати легше, наприклад, за допомогою вузликів. Так робили стародавні перуанці, зав'язуючи вузлики на кількох сплетених разом мотузках. Такий «прилад» називався «квіпос». Він був у принципі еквівалентний наших рахунків і, без сумніву, пов'язаний з ними спільністю походження. На таких рахунках одноразово зав'язаний вузол означав 10, дворазово - 100 і т. д. Однак користуватися таким приладом нелегко: на зав'язування - перев'язування вузликів йде багато часу. Вихід знайшовся - зробити систему рухомого. Стародавні народи - єгиптяни, греки, римляни - вживали при обчисленнях рахунковий прилад «абак». Це була дошка (стіл), розграфлений на смуги, по яких пересували особливі шашки, що грали роль кісточок наших рахунків Такий вигляд мав грецький абак Абак римський мав форму мідної дошки з жолобами (прорізами), в яких пересувалися кнопки. Споріднений абаку перуанський «квіпос» - ряд ременів або мотузок з зав'язаними на них вузлами цей рахунковий прилад отримає особливе поширення серед перших мешканців Південної Америки, але, без сумніву, був у вжитку також і в Європі. У середині століття, аж до XVI століття, подібні пристосування були широко поширені в Європі. Але тепер видозмінений абак - рахунки - зберігся, здається, тільки у нас, та в Китаї (семікосгочковие рахунки - «Суан-пан» *) і Японії (теж семікосточковие рахунки - «соробан»). Кожен грамотна людина вміє там виконувати на таких рахунках чотири арифметичних дії Між тим Захід майже не знає рахунків, - ви не знайдете їх ні в одному магазині Європи, і лише в початкових школах є величезні рахунки - наочне класне допомога при навчанні нумерації. Бути може, тому-то ми і не цінуємо цього рахункового приладу так високо, як він заслуговує, а дивимося на нього як на наївну кустарну самодельщіну в області лічильних приладів Японці цінують свої рахунки високо. Ось як відгукується про соробане один японський учений «Незважаючи на свою старовину, соробан перевершує всі сучасні лічильні прилади легкістю поводження з ним, простота пристрою і дешевизна» Ми теж вправі були б пишатися нашими конторськими рахунками, так як при дивовижної простоті пристрою вони по досягається на них результатами можуть змагатися в деяких відносинах навіть зі складними, дорого стоять рахунковими машинами.
Сучасні способи запам'ятовування чисел
Найпростіша система числення - двійкова, так як вона використовує тільки дві цифри: нуль і один. Саме таку систему числення використовують сучасні комп'ютери. В основному через те, що такий «мова» легкий для «розуміння» електронних пристроїв: наявність електричного сигналу означає одиницю, його відсутність - нуль. А далі відкриваються воістину безмежні можливості для запам'ятовування самої різної інформації - адже будь-який її вид, будь то текст, зображення, звук або відео, можна представити у вигляді набору чисел. Ввели навіть одиницю інформації: інформація, що говорить про одне з 256 рівноймовірно подій, має об'єм в один байт. Інформацію у вигляді двійкового коду можна розміщувати на різноманітних носіях. Наприклад, на гнучких магнітних стрічках - у вигляді намагнічених і ненамагніченим областей, на поверхні лазерного диска - у вигляді заглиблень (пітів) і виступів, в інтегральних мікросхемах - складним поєднанням напівпровідникових приладів, виконаним на єдиній підкладці з діелектрика. В даний час розібравши калькулятор, не побачите там нічого з електроніки, крім маленької інтегральної мікросхеми, залитої невеликою краплею епоксидної смоли. Це наочно ілюструє той факт, що майбутнє сучасної техніки в її мініатюрності. Такий прилад полагодити не представляється можливим: узор з тисяч плоских транзисторів величиною в частки мікрона неможливо змінити краще фахівця. Так і роблять сучасні мікросхеми, захищаючи їх раз і назавжди міцною оболонкою. Така складність обчислювальної техніки є результатом багатовікового розвитку. Перфокарти (картонні картки в отворами) вперше були застосовані в 1787 р., коли французький ткач Робер Фалькон використовував їх для управління механічним ткацьким верстатом. Пізніше ця система була вдосконалена іншим Ткачем, Жозефом Жаккара. Ряди отворів (перфорація) в наборі карт використовувалися для зберігання деталей узору. При заміні карток ткацький верстат ткав інший візерунок. «Жакардовий верстат виконає будь-який візерунок, який в змозі уявити собі уяву», - говорив англіцскій математик Чарльз Беббідж. Його настільки вразило розмаїття, яке давали перфокарти, що в 1832 р. він почав проектувати те, що назвав «аналітичної машиною», однак, у той час побудувати такий механізм було неможливо через його складність. Але з цього почалася ера електронної інформації. Принцип роботи перфокарт дуже простий: у тому місці, де в карті зроблено отвір, можуть стикатися два електроди, і через них потече струм. Зрозуміло, що струм при відносно малій напрузі не зможе пробити картонну картку - сигналу не буде. Виходить, що перфокарта теж використовувала двійковий код для запису інформації в позиційній системі числення - кожен отвір або його відсутність несуть двояку інформацію - про своє місцезнаходження і про одного з цих двох фактів - є дірка або ж її немає.
Персоналії
== Піфаго́р ==
(580 до н. е. — 500 до н. е.) — давньогрецький філософ, релігійний та політичний діяч, засновник піфагореїзм став легендою і джерелом дискусій уже в стародавні часи. У 306 р. до н.е. йому, як найрозумнішому з греків, поставили пам’ятник в римському форумі. З тих часів мало що прояснилося в біографії Піфагора та в історичній ролі організованого ним союзу, клубу чи ордену піфагорійці. І досі висуваються нові гіпотези, тлумачення щодо діяльності стародавнього мудреця та його послідовників.
Наукові досягнення: Вчення про число
Основним змістом піфагорійської математики є вчення про число. Як і вавилонські маги, піфагорійці вважали надзвичайно важливими різні властивості чисел і відношення між ними. І коли відсіяти полову — числову містику, виявиться, що вони ввели багато фундаментальних теоретико-числових понять, виявили і дослідили глибокі властивості чисел і поставили такі питання, які й сьогодні залишаються предметом досліджень багатьох учених і все ще чекають свого розв’язання.
Досконалі числа
Найважливішою властивістю чисел піфагорійці вважали парність і непарність і першими ввели поняття парного і непарного числа, простого і складеного, розробили теорію подільності на два, дали кілька класифікацій натуральних чисел. Піфагорійці вважали унікальними такі числа, в яких сума власних дільників, тобто дільників, менших від самого числа, дорівнює самому числу. Наприклад:
6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Піфагорові трійки Pythagorean triple scatterplot2.png
Є 16 примітивних піфагорових трійок з c ≤ 100: ( 3 , 4 , 5 ) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17) ( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) (16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)
100 < c ≤ 300: (20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125) (88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149) (85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181) (57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197) (84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221) (60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257) (23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277) (160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)
