Система числення

Систе́ма чи́слення (англ. number (numeration) system, notation) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.

Розрізняють такі типи систем числення:

• позиційні
• змішані
• непозиційні

Позиційна система

У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b>1 , яке називається основою системи числення.

Наприклад, якщо b - натуральне число (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b > 1 ), то для представлення числа x у системі числення з основою b його подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n a_k b^k

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_k

— цілі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0 \leq a_k < b

Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.

Приклад

Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 204 = 2 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0}

Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.

Змішана система

Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b

і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{b_k\}_{k=0}^{\infty}
і кожне число Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x
представляється як лінійна комбінація:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n a_{k}b_k

, де на коефіцієнти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{k}

(цифри) накладаються деякі обмеження.

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_k=b^k

для деякого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b

, то змішана система збігається з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b -основною системою числення.

Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s

секунд.

Система числення Фібоначчі

Представлення засновується на числах Фібоначчі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n f_k F_k

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_k

— числа Фібоначчі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k\in\{0,1\}

, при цьому у записі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_nf_{n-1}\dots f_0

не зустрічаються дві одиниці підряд.

Факторіальна система числення

Представлення використовує факторіал натуальних чисел:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=1}^n d_k k!

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq d_k \leq k .

Біноміальна система числення

Представлення використовує біноміальні коефіцієнти:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n .

== Система залишкових класів (СОК) ===

Подання числа в системі залишкових класів засноване на понятті вирахування та китайської теореми про залишки. СОК визначається набором взаємно простихмодулівНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): (m_1, m_2, \ dots, m_n) </ math> з твором <math> M = m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_n </ math> так , що кожному цілому числу <math> x </ math> з відрізка <math> [0, M-1] </ math> ставиться у відповідність набір відрахувань <math> (x_1, x_2, \ dots, x_n) </ math >, де : <math> X \ equiv x_1 \ pmod {m_1}; </ math> : <math> X \ equiv x_2 \ pmod {m_2}; </ math> : ... : <math> X \ equiv x_n \ pmod {m_n}. </ Math> При цьому китайська теорема про залишки гарантує однозначність подання для чисел з відрізка <math> [0, M-1] </ math>. В СОК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, ділення) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілочисельним і також лежить в <math> [0, M-1] </ math>. Недоліками СОК є можливість подання лише обмеженої кількості чисел, а також відсутність ефективних алгоритмів для порівняння чисел, представлених в СОК. Порівняння зазвичай здійснюється через переклад аргументів з СОК в змішану систему числення з підстав <math> (m_1, m_1 \ cdot m_2, \ dots, m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_ {n-1}) </ math>. Новинка! Нажмите на слова вверху, чтобы увидеть альтернативный перевод. Отказаться Использовать Переводчик Google в следующих ситуациях:Поиск Видео Электронная почта Телефон Чат Для бизнеса:Инструменты переводчика служба "Анализ рынков" переводчик сайтов О Переводчике GoogleОтключить моментальный переводКонфиденциальностьСправка === Система числення майя === [[Майя (цивілізація)|Майя]] використовували двадцяткову систему числення за одним вийнятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році. == Непозиційна система == У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел. Типовим прикладом непозиційної системи числення є [[Римська система цифр|римська система числення]], в якій у якості цифр використовуються латинські букви: {| align="center" class="standard" |+ ! |Римська цифра ! |Десяткове значення |----- | I | 1 |----- | V | 5 |----- | X | 10 |----- | L | 50 |----- | C | 100 |----- | D | 500 |----- | M | 1000 |+ |} Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі. == Застосування == У [[Нумізматика|нумізматиці]] особливо велику вагу мають [[Десяткова система числення|десяткова система]], дванадцяткова ([[Дуодецимальна система числення|дуодецимальна]]), четвертна та шісткова системи. У [[ІТ|інформаційних технологія]] застосовуються [[двійкова система числення|двійкова]], [[десяткова система числення|десяткова]], [[вісімкова система числення|вісімкова]], та [[шістнадцяткова система числення|шістнадцяткова]] системи. == Див. також == * [http://uk.wikipedia.org/wiki/Позиційні_системи_числення Позиційні системи числення] * [http://sites.google.com/site/sistemicislennasite/nepozicijna-sistema-cislenna Непозиційні системи числення] * [http://uk.wikipedia.org/wiki/Єгипетська_система_числення Єгипетська система числення] * [http://uk.wikipedia.org/wiki/Арабська_система_числення Арабська система числення] * [http://uk.wikipedia.org/wiki/Римська_система_числення Римська система числення] * [http://uk.wikipedia.org/wiki/Двійкова_система_числення Двійкова система числення] * [http://uk.wikipedia.org/wiki/Вісімкова_система_числення Вісімкова система числення] * [http://uk.wikipedia.org/wiki/Десяткова_система_числення Десяткова система числення] * [http://uk.wikipedia.org/wiki/Шістнадцяткова_система_числення Шістнадцяткова система числення] ---- << [[ Розвиток систем числення ]]