Система числення
Систе́ма чи́слення (англ. number (numeration) system, notation) - сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.
Розрізняють такі типи систем числення:
- позиційні
- змішані
- непозиційні
Зміст
Позиційна система
У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b>1 , яке називається основою системи числення.
Наприклад, якщо b - натуральне число (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b > 1 ), то для представлення числа x у системі числення з основою b його подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n a_k b^k
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_k
— цілі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0 \leq a_k < b
Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.
- Приклад
Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 204 = 2 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0}
Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.
Змішана система
Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b
і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{b_k\}_{k=0}^{\infty}
і кожне число Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x
представляється як лінійна комбінація:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n a_{k}b_k
, де на коефіцієнти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{k}
(цифри) накладаються деякі обмеження.
Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_k=b^k
для деякого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b
, то змішана система збігається з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b -основною системою числення.
Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s
секунд.
Система числення Фібоначчі
Представлення засновується на числах Фібоначчі:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=0}^n f_k F_k
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_k
— числа Фібоначчі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k\in\{0,1\}
, при цьому у записі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_nf_{n-1}\dots f_0
не зустрічаються дві одиниці підряд.
Факторіальна система числення
Представлення використовує факторіал натуальних чисел:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=1}^n d_k k!
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq d_k \leq k .
Біноміальна система числення
Представлення використовує біноміальні коефіцієнти:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n .
Система числення майя
Майя використовували двадцяткову систему числення за одним вийнятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році.
Непозиційна система
У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.
Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій у якості цифр використовуються латинські букви:
| Римська цифра | Десяткове значення |
|---|---|
| I | 1 |
| V | 5 |
| X | 10 |
| L | 50 |
| C | 100 |
| D | 500 |
| M | 1000 |
Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.
Застосування
У нумізматиці особливо велику вагу мають десяткова система, дванадцяткова (дуодецимальна), четвертна та шісткова системи. У інформаційних технологія застосовуються двійкова, десяткова, вісімкова, та шістнадцяткова системи.
Див. також
- Позиційні системи числення
- Непозиційні системи числення
- Єгипетська система числення
- Арабська система числення
- Римська система числення
- Двійкова система числення
- Вісімкова система числення
- Десяткова система числення
- Шістнадцяткова система числення
