Застосування інтегрального перетворення Фур’є для задачі теплопровідності

"Застосування інтегрального перетворення Фур’є для задачі теплопровідності"

Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~u( х,t ) - температура, в залежності від часу t і просторової х.Відомо, що рівняння задовільняє такому рівнянню:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~u_t = a^2u(_x)_x +f(x,t)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,0) = \varphi(x) = 0.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lim\limits_{x\to +\infty}u = 0.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lim\limits_{x\to -\infty}u = 0.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(\alpha,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(\alpha,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,t)e^{ix\alpha}\,dx.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx =(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx)'_t=U_t(\alpha,t).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F(u(_x)_x(x,t))=(-i\alpha)^2u(\alpha,t)=-\alpha^2u(\alpha,t).

Постановка задачі в образі просторі має вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~U(\alpha,t) = 0.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~U_t+a^2a^2u = F.

-лінійне неоднорідне  диференційне рівняння

F - лінійне неоднорідне диференційне рівняння Розвязками цього рівняння є:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(\alpha,t)= \int_0^t F(\alpha,\tau)e^{(-\alpha^2)a^2(t-\tau)}\,d\tau.

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\tau -зміна інтегрування

Це є відповіддю в прост. образи, а тепер повернемося до простору в оригіналі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(\alpha,t)e^{-ix\alpha}\,d\alpha.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ix\alpha}\,d\alpha\int_0^t F(\alpha,\tau)e^{(-\alpha^2)a^2(t-\tau)}\,d\tau.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,t)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi)^2}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ix\alpha}\,d\alpha\int_0^t e^{(-\alpha^2)a^2(t-\tau)}\,d\tau\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x_1,t)e^{ix_1\alpha}\,dx_1.

Висновок

З допомогою інтегрального перетворення Фур'є задача з диференційним рівнянням частинних похідних перетворилася в задачу Коші із звичайними диференційовними рівняннями ,яка була розвязана і до розв'язку застосовуэться обернене перетворення Фур'є.Відповідь отримали у вигляді інтеграла.

Виконала: Юрченко Тетяна Сергіївна