Інтеграли Френеля та інтеграл ймовірностей

S(x) и C(x).Максимальне значення дляC(x) приблизно дорівнює 0.977451424. Якщо використовувати Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \pi t^2

замість Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t^2

, то графік змінить вертикальний и горизонтальний масштаб (см. ниже).

Інтеграли Френеля S(x) и C(x) — це спеціальні функції, названі на честь Огюстена Жана Френеля і використовуються в оптиці. Вони виникають при розрахунку дифракції Френеля і визначаються як

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.

Параметричний графік S(x) и C(x) дає криву на площині, яка має назву спіраль Корню

Розклад в ряд

Інтеграли Френеля можуть бути представлені степеневими рядами, збіжними при всіх x:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.

Рівняння 7.3.1 — 7.3.2</ref> використовують в якості аргумента тригонометричних підінтегральних функцій Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\pi}{2}t^2 .

Спіраль Корню

Спіраль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спіраль збігається до центрів отворів при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t \rightarrow +\infty .

Функція помилок

функція помилок

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,dt

.

Додаткова функція помилок:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt

.

Комплексна функція помилок:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix)

.

Властивості

•  :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}

поскольку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}

— співмножник, перетворюючий Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i

-й член ряда в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i+1) -й, рахуючи першим членом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x .

Асимптотичний розклад

При великих Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

полезно асимптотичний разклад для додаткової функції помилок:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erfc}\,x = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.\,

Функції

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x= \frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right).

Узагальнені функції помилок

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x e^{-t^n}\,dt =\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.

• Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_0(x)

— прямая линия, проходящая через начало координат: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}

• Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_2(x)

— функция ошибок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x

.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi}, \quad \quad x>0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{erf}\,x = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}

Інтеровні інтеграли додаткової функції помилок

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \int\limits_z^\infty i^{n-1}\,\operatorname{erfc}\,\zeta\,d\zeta.\, 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  i^n\,\operatorname{erfc}\,z  =  \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,, 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z) = -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!} 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z) =i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.