Початково-крайова задача для рівняння теплопровідності. Метод Фур’є

Навідміну від попереднього пункта рівняння теплопровідності однорідне, але початкова умова неоднорідна.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\begin{cases} {U}{t}-a^2{U}_{xx}=0, (1) & \\ U(0,t)=0,(2) & \\U(l,t)=0, (3)& \\U(x,0)=\varphi(x),(4)\end{cases}}

U-температура

Задачу будемо розв'язувати методом Фур'є(методом відокремлюваних змінних)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=X(x)T(t), (5)}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(1)}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X}{T'}=a^2{X''}{T}} {\mid\frac{1}{{X}{T}a^2}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): { \frac{T'}{a^2{T}}=\frac{X''}{X}=-\lambda}\Rightarrow \;\begin{cases} T'+a^2{\lambda{T}}=0, (6)& \\X''+\lambda{X}=0,(7)\end{cases}

- звичайні диференціальні рівняння другого порядку

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(2):}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X(0)}{T(t)}=0\Rightarrow \;X(0)=0,(8)}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(3):}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X(l)}{T(t)}\Rightarrow \;X(l)=0,(9)}

Розглянемо задачу (7)-(9) .Це крайова задача функції відносно X(x) з параметром Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda} . Вона називається задачею Штурма-Ліувілля. Розв'язати цю задачу означає : знайти для яких значень параметра Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda}

існують нетривіальні розв'язки (7)-(9). Причому значення параметра називаються власними значеннями, а самі нетривіальні розв'язки - власними функціями.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(7)}

- характеристичне рівняння      Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha^2+\lambda=0\Rightarrow \;\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}}

a) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda<0}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{R}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {x=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{x}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{x}}}}

Підставляємо у (8) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(0)=c_1+c_2=0}

Підставляємо у (9) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(l)=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{l}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{l}}}}

Нетривіальний розв'язок існує, коли Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ e^\sqrt{-\lambda} & e^{-\sqrt{-\lambda}} \end{vmatrix} }=0

, але це неможливо.

Висновок : нетривіальні розв'язки відсутні, при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda<0

b) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {x''=0\rightarrow \;x'=c_1}\rightarrow \;x={c_1}{x}+c_2

Підставляємо у (8) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(0)=c_2=0}

Підставляємо у (9) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(l)={c_1}{l}+c_2=0\rightarrow \;c_1=c_2=0}

 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X\equiv \;0}
- тривіальний.

Висновок: Нетривіальні розв'язки відсутні, при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda=0

с)Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda>0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha_{1, 2}=\pm{i}{\sqrt\lambda}}

є уявними.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(x)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{x}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{x}}}}

Підставляємо у (8) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(0)=c_1+0=0}

,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c_1=0}

Підставляємо у (9) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(l)=c_1{cos{\sqrt{\lambda}{l}}}+c_2{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\rightarrow \;{sin{\sqrt{\lambda}{l}}}=0\Rightarrow \;{\sqrt{\lambda_k}{l}=\pi{k}} }

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda_k=\left (\frac{\pi{k}}{l} \right)^2 , (10)}

- власні значення

Знайдемо власні функції :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X_k(x)=c{sin\frac{\pi{k}}{l}{x} , (11)}}

Це кінець задачі Штурма-Ліувілля (7)-(9). Їїрозв'язками є (10) - (11)

Підставляємо власні значення (10) у рівняння (6):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {T'_k+\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{T_k}=0}

Побудуємо характеристичне рівняння або розв'яжемо його інакше як рівняння з відокремленими змінними :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {T_k(t)=A_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}} , (12)}

(12) і (11) підставляємо в (5) :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U_k(x,t)=a_k{e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}} , (13)}

- це розв'язок рівняння (1), який відповідає тільки крайовим умовам (2) і (3).

Побудуємо відповідний загальний розв'язок, який утворюється лінійною комбінацією часткових розв'язків (13) :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},(14)}

(14) підставляємо в (4):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\varphi(x)}}

Розкладемо функцію <math{\varphi(x)}</math> в ряд Фур'є по sin на проміжку (0,l), при цьому коефіцієнти будуть :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\varphi_k=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x){sin\frac{\pi{k}}{l}{x}}dx}, (15)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{k=1}^\infty{a_k}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x}=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}sin\frac{\pi{k}}{l}{x}\Rightarrow \;a_k=\varphi_k}

(14),(15) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=\sum_{k=1}^\infty{\varphi_k}e^{-{\left (\frac{\pi{k}{a}}{l} \right)^2{t}}}}{sin\frac{\pi{k}}{l}{x},(14)}

(15) і (16) - загальний розв'язок нашої задачі