Косинус та синус перетворення Фур'є

Розглянемо часткові випадки:

1.Нехай функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

-парна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -парна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin(\alpha\ t)

-непарна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(\alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}

Якщо функція f(x)-довільна,визначена на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (0;\infty)

,то парне продовження цієї функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x) = \begin{cases}f(x) , & \mbox{x}\mbox{>=0} \\ f(-x), & \mbox{if }n\mbox{ is odd} \end{cases}}

розвинення парного продовження:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}

Для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}

(*)

2.Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

-непарна,тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -непарна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin (\alpha\ t) -парна;Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(\alpha)}=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}

Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) -довільна,визначена на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (0;\infty) , тоді непарне продовження буде:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_1(x) = \begin{cases} f(x), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ f(-x), & x < 0 \end{cases},\

розвинення непарного продовження:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_1(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}

Для будь-якогоНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}

(**)

Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)={ \sqrt\(\frac{2}{\pi})

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F(\alpha)}={ \sqrt\(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt

називаэться Косинус-перетвореннямфункціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) ,а функціяНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty {F(\alpha)}cos(\alpha\x){d(\alpha)}

називається Оберненим косинус-перетвореннямдля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворенняНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\Phi(\alpha)}={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt

-пряме сінус-перетворення функціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ x){d(\alpha)}

-обернене сінус перетворення функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

Зауваження:

В деякій літературі пряме синус та косинус-перетворення вводиться з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\frac{2}{\pi})

,а оберене з 1.

Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

називають їїОригіналом,а функції називають ОбразомфункціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

у просторі відповідного перетворення.

Додаткова інформація

При кутовій зміні частоті,змінюється і циклічна частота при цьому косинус-перетвореняя представляє наступні дві формули:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_c(w)=2\int_0^\infty f(t)cos({2\pi}ft)dt

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty g_c(f)cos({2\pi}ft)df

Якщо наша функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

визначена на інтерваліНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): (-L/2,L/2) ,то модель Фур'є буде:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a_k cos({2\pi}kx)/L)+b_k sin({2\pi}kx)/L)

Так як визначено у формулі основна частота цієї Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f=1/L

і всіх вищих гармонік частоти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k

є цілими кратними основної частоти.Тобто,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k=k/L=k\Delta f .

Зараз ми стикаємось з перспективою даючи Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (L \to 0)

з якого слідує,що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f\to 0

і, отже, поняття гармонійної частоти перестане бути корисним.

Для того, щоб врятувати ситуацію, ми повинні відокремлювати поняття фізичної частоти і номер гармоніки. Щоб зробити це, ми першим позначемо зміни, з тим, що ми можемо лікувати коефіцієнти Фур'є в залежності від частоти змінного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_k

,яка приймає дискретні значення, кратні ΔF. Таким чином попереднє рівняння буде мати вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a(f_k)cos({2\pi}x f_k)+b(f_k)sin({2\pi}x f_k)

Також є такі формули косинус та синус перетворення Фур'є

Косинус-перетворення Фур'є

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_c(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)e^{-i\varphi t}dt

Синус-перетворення Фур'є

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_s(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\varphi)dt