Теорема про диференціювання

Теорема про диференціювання

Теорема про диференціювання: Перетворення Фур'є для диференційовної функції виконується за правилом:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = {-i\alpha}F(\alpha).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).

Доведення :

Формулу для n-тої похідної доведемо методом математичної індукції: Для n=1:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt) ={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt ={-i\alpha}F(\alpha).

Припустимо,що правило виконується і для n-1. Аналогічно, як для n=1, можна довести, що правило вірне і для n-тої похідної.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).