Сферичні функції Беселя

Функції Бесселя в математиці - сім'я функцій, які є канонічними розв'язками диференціального рівняння Бесселя:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha  — довільне дійсне число, яке називається порядком.

Сферичні функції Бесселя: j_n, y_n

Сферичні функції Бесселя першого роду, j_n(x), n = 0, 1, 2

Сферичні функції Бесселя другого роду, y_n(x), n = 0, 1, 2

При розв'язанні рівняння Гельмгольца в сферичних координатах методом відокремлення змінних, радіальне рівняння має наступний вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0.

2 лінійно незалежних розв'язки цього рівняння називаются сферичними функціями Бесселя j_n and y_n, і пов'язані із звичайними функціями Бесселя J_n and Y_n

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_n

також позначається Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n_n
або ηn; Деякі автори називають ці функції сферичними функціями Неймана.

Перші кілька сферичних функцій Бесселя:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j_0(x)=\frac{\sin x} {x}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j_1(x)=\frac{\sin x} {x^2}- \frac{\cos x} {x}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j_2(x)=\left(\frac{3} {x^2} - 1 \right)\frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x} {x^2}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j_3(x)=\left(\frac{15}{x^3} - \frac{6}{x} \right)\frac{\sin x}{x} -\left(\frac{15}{x^2} - 1\right) \frac{\cos x} {x},

та

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\,\frac{\cos x} {x}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_1(x)=j_{-2}(x)=-\,\frac{\cos x} {x^2}- \frac{\sin x} {x}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_2(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,\frac{3}{x^2}+1 \right)\frac{\cos x}{x}- \frac{3 \sin x} {x^2};

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_{n+\frac 1 2}(x)=\sqrt \frac 2 {\pi x} \sum_{i=0}^\frac {n+1} 2 (-1)^{n-i}\left[\sin(x) \left(\frac 2 x\right)^{n-2i} \frac {(n-i)!}{i!} {-\frac 1 2-i \choose n-2i}- \cos(x) \left(\frac 2 x\right)^{n+1-2i} \frac {(n-i)!}{i!} i {-\frac 1 2-i \choose n-2i+1}\right].