Комплексна форма ряду Фур'є

Комплексна форма ряду Фур'є

Вираз Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{-\infty}^\infty c_n e^\frac{i\pi nx}{l}

називається комплексною формою ряда Фур'є функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

, якщо визначається рівністю

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_n=\frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) e^{-\frac{i\pi nx}{l}} dx , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n=0,\pm1,\pm2,...

Сукупність всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k

де k є Z називають комплексним спектром функції f(x) або комплексні амплітуди комплексних гармонік. 

Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і навпаки виконується за допомогою формул:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_n=\frac{a_n-i b_n}{2}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_0=\frac{a_0}{2}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega=\frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) dx

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n=2Re c_n

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=2Im c_n

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0=2 c_0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (n=1,2, . . .)

Формули дискретного перетворення Фур'є

Зворотнє перетворення Фур'є

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t_k)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} C_k^\blacklozenge e^{i \frac{2\pi k}{T} t_n}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_n^\blacklozenge=\sum_{n=0}^{\infty} f(x) e^{-in \frac{2\pi}{T} t_n} ,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n=1,2,... , k=1,2,...

Дискретним перетворенням Фур'є називається N- вимірний вектор Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (C_0^\blacklozenge, ..., C_{N-1}^\blacklozenge)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_n^\blacklozenge=\sum_{n=0}^{N-1} f(t_n) e^{\frac{-i2\pi n}{T} t_n}

при цьому, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_n=\frac{C_n}{N}