Розв’язок рівняння Лапласа у циліндричних координатах. Рівняння Беселя

Рівняння Лапласа - однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого порядку еліптичного типу.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0

.

Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів. Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.

Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.

Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.

Рівняння Лапласа - рівняння в частинних похідних. У тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0

і є частковим випадком рівняння Гельмгольца.

У двовимірному просторі рівняння Лапласа записується:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0

Також і вn-вимірному просторі. У цьому випадку до нуля прирівнюється сумаnдругих похідних. За допомогою диференціального оператора

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...

- оператора Лапласа - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \triangle u = 0

Оператор Лапласа - диференціальний оператор, який діє в лінійному просторі гладких функцій, який позначають символом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \Delta . Функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F\

він ставить у відповідність функцію Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F

.

Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій градієнта і дивергенції: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad} , таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) потенційного векторного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \operatorname{grad}F

в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2

, тобто у вигляді скалярного добутку оператора Набла на себе.

Вирази для оператора Лапласа у різних криволінійних системах координат

У довільних ортогональних криволінійних координатах в тривимірному просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): q_1,\ q_2,\ q_3

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_i\

 — коефіцієнти Ляме.