Задача СП. М-модель з імовірнісними обмеженнями з детермінованою матрицею коефіцієнтів обмежень. Детермінована задача. Двоїста задача.
Розглянемо задачу лінійного стохастичного програмування з ймовірнісними обмеженнями типу М-модель:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M(cx)\rightarrow max
(1.1),
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(\sum^{n}_{j=1}{a_{ij}x_{j}}\leqslant b_{i})\geqslant \alpha_{i},i=1,\ldots,m
(1.2),
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{j}\geqslant 0,j=1,\ldots,n
(1.3)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c
– випадкові числа, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0,5<\leqslant \alpha_{i}<1
При детермінованій матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A=||a_{ij}||
і випадковому веторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b=(b_{ij})
задача (1.1)-(1.3) зводиться до детермінованої задачі лінійного програмування.
Дійсно, нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi(b_{1}...b_{m})
– спільна щільність розподілу елементів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
випадкового вектора b. Щільність розподілу компонента Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
дорівнює:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi_{i}(b_{i})= \int\limits_{\infty}^{\infty}... \int\limits_{\infty}^{\infty}\phi(b_{1}...b_{m})\prod_{j\not=i}db_{j}
Знайдемо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b_i}
з рівняння:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_{\tilde{b_i}}^{\infty}\phi_{i}(b_{i})db_{i}=\alpha_{i} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m
(1.4)
Якщо розв’язок рівняння (1.4) не є єдиним, то оберемо в якості Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b_i}
найбільший корінь.
Відношення (1.2) еквівалентні нерівностям
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{n}_{j=1}{a_{ij}x_{j}}\leqslant\tilde{b_i} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b_i}
задовольняють відношенням (1.4).
Звідси випливає еквівалентність задачі стохастичного програмування (1.1) – (1.3) та детермінованої задачі лінійного програмування
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}x\rightarrow max
(1.5)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Ax\leqslant\tilde{b}
(1.6)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geqslant 0
(1.7)
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}= M(c)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b}=(\tilde{b_1}...\tilde{b_m})
.
Якщо випадкові величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
характеризуються функцією розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{i}(b_{i})
, то параметр Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b_i}
представляє собою найбільше число, яке задовольняє нерівність Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 1-F_{i}(\tilde{b_i})\geqslant\alpha_{i}
.
Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{i}(b_{i})
– неперервна строго монотонна функція, то остання нерівність еквівалентнa рівнянню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 1-F_{i}(\tilde{b_i})=\alpha_{i}
.
У всіх випадках будемо записувати
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b}= F_{i}^{-1}(1-\alpha_{i})
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{i}^{-1}(t)=\sup(y|F_{i}(y)\leqslant t) . (1.8)
Для стохастичної задачі (1.1)-(1.3) з детермінованою матрицею А, тобто для задачі (1.5)-(1.7), можна записати двоїсту задачу з ймовірнісними обмеженнями.
Розглянемо задачу
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y\tilde{b}\rightarrow min
(1.9)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(yA\geqslant c)\geqslant\beta
(1.10)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y\geqslant o
(1.11)
Розв'язок якої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y^*
визначається у вигляді детермінованого вектора.
Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{j}(\zeta)
- функція розподілу випадкового коефіцієнта Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_{j}
лінійної форми (1.1)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{j}(\zeta)=P(c_{j}\leqslant\zeta) .
Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{j}(\zeta)=\beta{j} , то запис Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta=G_{j}^{-1}(\beta{j})
будемо вважати еквіваленим запису
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta = min \{y|G_{i}(y)\geqslant \beta{j}\} .
Попередня задача (1.9)-(1.11) може бути записана у вигляді
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y\tilde{b}\rightarrow min ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): yA\geqslant G^{-1}(\beta) ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y\geqslant 0 .
Порівнюючи останню задачу з початковою (1.1)-(1.3) отримуємо, що при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \beta=G(\bar{c})
наступні дві одноетапні задачі стохастичного програмування з ймовірнісними обмеженнями та апріорними розв’язувальними правилами являють собою двоїсту пару:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G^{-1}(\beta)x\rightarrow max ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(Ax\leqslant b)\geqslant\alpha ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geqslant 0 ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): yF^{-1}(1-\alpha)\rightarrow min ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(yA\geqslant c)\geqslant\beta ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y\geqslant 0 ,
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha = \{\alpha_{i}\}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \beta=\{\beta_{j}\}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F^{-1}= \{F^{-1}_{i}\}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G^{-1}= \{G^{-1}_{j}\} .
Отриманий результат дозволяє для розглядуваного випадку стохастичних задач з ймовірнісними обмеженнями використовувати інтерпретації теорем двоїстості для якісного аналізу розв'язку та оцінки параметрів задачі [1, c. 65-67].
Список використаних джерел
1. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. / Юдин Д. Б. М: «Сов. радио», 1974. – 400 с.
Виконала: Ира Ханенко
Доповнювала: Іванченко Олександра
