Зміст

1 Назва курсу
2 Учасники
3 Графік навчання
4 Зміст курсу
5 Ресурси
- 5.1 Рекомендована література
  - 5.1.1 Базова
  - 5.1.2 Допоміжна
- 5.2 Інформаційні ресурси

Назва курсу

Дискретна математика

Галузь знань: 12 Інформаційні технології

Напрям підготовки:122 Комп'ютерні науки та інформаційні технології

Освітньо-кваліфікаційний рівень:бакалавр

Мета та завдання навчального курсу

Мета: сформувати у студентів знання , вміння і навички, необхідні для засвоєння курсу програмування, побудови дискретних математичних моделей реальних об’єктів, проектування систем обробки інформації з використанням алгебричного підходу, розробки ефективних алгоритмів та їх аналізу.

Завдання: навчити студентів використовувати апарат дискретної математики для розв’язування практичних задач, що пов’язані з розробкою програмних комплексів для ЕОМ та створенням алгоритмів вирішення прикладних проблем.

У результаті вивчення навчального курсу студент повинен

знати:

способи опису множини та її елементів, операцій над множинами;
властивості відношень, способи задання відношень, бінарні відношення еквівалентності, часткового порядку, функціональні відношення;
поняття потужності множини, основні кардинальні числа;
типи та композиції відображень;
способи задання графів, операцій над графами;
властивості різних типів графів (зв’язані графи, дводольні графи, дерева, ейлерові графи, гамільтонові графи);
теореми Куратовського, Ейлера;
основні типи задач комбінаторного аналізу;
визначення понять: перестановки, розміщення, комбінації елементів;
метод твірних функцій;
таблиці істинності та їх роль у встановленні істинності складних висловлень;
канонічні форми булевих функцій;
теорему Поста, повні набори булевих функцій;
різні ознаки подільності;
основи теорії автоматів, властивості автоматів, типи автоматів (скінчені автомати, автомати з магазинною пам’яттю);

вміти:

виконувати дії над елементами множини;
використовувати діаграми Вена або кола Ейлера;
описувати типи відношень;
визначити області значення та області визначення відношень;
використовувати аксіоми порядку для визначення властивостей відношень;
використовувати графи для моделювання різних об’єктів;
виконувати операції над графами;
використовувати теореми Ейлера, Куратовського, для розв’язування прикладних задач;
розраховувати перестановки, розміщення, комбінації та використовувати їх в конкретних задачах;
застосовувати елементи комбінаторного аналізу до комбінаторних систем з оптимальним розподілом елементів;
використовувати біномінальні коефіцієнти для генерування к-елементних підмножин;
використовувати таблиці істинності для встановлення істинності алгебраїчним методом;
перевіряти повноту наборів булевих функцій, приводити формули до заданого базису;
застосовувати булеві функції до логічних та релейно-контактних схем;
використовувати приклади скінчених автоматів для моделювання реальних об’єктів.

Робоча програма курсу

Автори курсу

Болілий Василь Олександрович

Ганенко Людмила Дмитрівна

Графік консультацій

Понеділок	Середа	Четвер
14⁰⁰-15²⁰	12⁴⁰-14⁰⁰	14⁰⁰-15²⁰

Учасники

Сторінка координування курсу "Дискретна математика 2"

Графік навчання

Змістовий модуль 1

Теорія множин

Тема 1. Множини і операції над ними. Вступ. Мета і завдання курсу. Поняття множини. Способи задання множини. Операції над множинами. Діаграми Ейлера-Венна. Властивості операцій над множинами. Булеан множини.

Тема 2. Відношення. Декартовий добуток множин. Поняття відношення. Способи задання бінарних відношень. Операції над відношеннями. Властивості бінарних відношень. Відношення еквівалентності. Відношення порядку. Реляційна модель даних.

Тема 3. Функціональні відношення. Означення функціонального відношення. Типи функціональних відношень

Тема 4. Потужність множини. Потужність множини. Потужність N. Потужність Z. Потужність Q. Потужність R. Незліченість множини дійсних чисел. Кардинальні числа.

Тема 5. Аксіоматика множини натуральних чисел. Аксіоми Пеано. Принципи математичної та трансфінітної індукції. Застосування методу математичної індукції до розв’язання основних типів задач.

Змістовий модуль 2

Булеві функції

Тема 1. Булеві функції. Елементарні булеві функції. Булеві вектори. Число булевих векторів. Булеві функції. Табличне задання функцій. Булеві функції і формули. Суперпозиція булевих функцій. Рівносильні формули. Закони булевої алгебри. Фіктивні і суттєві змінні в булевих функціях. Двоїсті функції і двоїсті формули.

Тема 2. Нормальні (канонічні) форми булевих функцій. Нормальні форми. Досконалі нормальні форми. Способи побудови нормальних форм.

Тема 3. Поліноми Жегалкіна. Алгебра Жегалкіна. Поліноми Жегалкіна. Представлення булевих функцій поліномами Жегалкіна.

Тема 4. Повнота та замкненість булевих функцій. Повнота системи булевих функцій. Приклади повних систем. Замкнені класи булевих функцій. Критерій повноти Поста.

Тема 5. Мінімізація булевих функцій. Основні поняття. Мінімізація булевих функцій методом карт Карно.

Змістовий модуль 3

Комбінаторика

Тема 1. Суми та добутки. Позначення сум. Перетворення сум. Загальні методи сумування. Позначення добутків. Факторіал. Перетворення добутків.

Тема 2. Найпростіші комбінаторні об’єкти. Правила суми і добутку. Основні комбінаторні схеми. Розміщення без повторень. Перестановки без повторень. Комбінації без повторень. Розміщення з повтореннями. Перестановки з повтореннями. Комбінації з повтореннями.

Тема 3. Комбінаторні тотожності. Тотожності для біноміальних коефіцієнтів. Трикутник Паскаля. Біном Ньютона. Поліноміальна формула. Формула включень та виключень.

Тема 4. Подільність чисел. Відношення подільності. Прості числа. Взаємнопрості числа. Відношення конгруенції. Лишки.

Тема 5. Спеціальні функції та числа. Цілочисельні функції. Числа Стірлінга. Числа Ейлера. Числа Бернуллі. Числа Фібоначчі.

Тема 6. Рекурентні співвідношення. Задачі, що приводять до рекурентних співвідношень. Лінійні рекурентні співвідношення та їх розв’язання. Нелінійні рекурентні співвідношення.

Тема 7. Твірні функції. Означення твірних функцій. Таблиця елементарних твірних. Операції над твірними функціями. Обчислення твірних функцій. Застосування твірних функцій.

Змістовий модуль 4

Теорія графів

Тема 1. Основні означення. Означення графа. Способи задання графа. Різновиди графів. Матриці суміжностей і досяжності. Матриця інцидентності. Ізоморфізм графів. Операції над графами. Ототожнення (злиття) вершин, стягування ребра, роздвоєння (розщеплення) вершини. З’єднання графів, доповнення графа. Властивості графів. Властивості регулярних графів. Властивості двочастинних (дводольних) графів.

Тема 2. Зв’язні графи. Маршрути, цикли, зв’язність. Властивості зв’язних графів.

Тема 3. Ейлерові графи. Теорема Ейлера. Властивості ейлерових графів.

Тема 4. Планарність і укладання графів. Плоскі та планарні графи. Укладання графів. Критерій Понтрягіна-Куратовського планарності графа.

Тема 5. Дерева. Дерева та їх властивості. Перелічення дерев. Остови (каркаси) графа. Основні поняття орграфів. Бінарні відношення і орграфи. Орієнтовані дерева та їх властивості.

Тема 6. Найкоротші відстані та шляхи у графах. Початкові поняття. Гамільтонові цикли і шляхи. Задача комівояжера.

Змістовий модуль 5

Теорія скінченних автоматів

Тема 1. Представлення подій в автоматах. Події та їх представлення в автоматах. Композиція автоматів. Означення автомата з однією стрічкою. Проблеми пустоти та нескінченності. Означення магазинного автомата.

Тема 2. Алгоритми сортування. Пірамідальне сортування.