Навчальний курс "Геометрія"

Назва курсу

Геометрія

---

Галузь знань 01 Освіта

напрям підготовки 014 Середня освіта (Математика)

освітньо-кваліфікаційний рівень: бакалавр

Мета та завдання навчального курсу

Мета: Дати студентам достатні теоретичні знання та виробити практичні вміння і навички для успішного розв’язання геометричних задач, успішного викладання шкільної геометрії та кваліфікованого проведення факультативних занять; формувати у студентів широкий погляд на геометрію та її методи і на елементарну геометрію з точки зору вищої.

Завдання:

1. Розкрити значення геометрії для загальної та математичної освіти людини.

2. Сприяти розумінню студентами діалектичних залежностей між фактами, які вивчаються в курсі геометрії.

3. Показати місце геометрії серед математичних дисциплін, її зв’язок з практикою і іншими математичними дисциплінами.

4. Навчити студентів використовувати координатний метод при побудові графіків функцій, процесів, діаграм, застосовувати аналітичні методи, методи векторного числення та методи математичного аналізу при вивченні властивостей геометричних фігур, використовувати методи геометричних побудов та методи зображень при побудові плоских та просторових фігур.

5. Розвивати у студентів просторову уяву.

6. Ознайомити з теоретико – груповою точкою зору побудови геометрії та вимог до сучасної строго математичної (аксіоматичної) побудови різних математичних курсів.

7. Розвивати загальну й математичну культуру студентів, їх науковий світогляд.

У результаті вивчення навчального курсу студент повинен

знати:

• означення, основні факти і методи аналітичної геометрії;

• основні означення та факти і методи проективної геометрії;

• основні означення та факти диференціальної геометрії;

• рівняння прямих, площин, кривих і поверхонь;

• методи вивчення властивостей геометричних фігур;

• методи розв'язування задач на побудову;

• методи зображень фігур та методи побудови перерізів;

• суть сучасного аксіоматичного методу, різні аксіоматики евклідової геометрії, аксіоматику геометрії Лобачевського;

• основні поняття і методи загальної топології.

вміти:

• розв’язувати основні задачі та доводити основні теореми геометрії; • використовувати векторну алгебру та метод координат при розв’язуванні задач та доведенні властивостей і теорем; • виводити різні види рівнянь прямої та площини; • отримувати афінну класифікацію кривих та поверхонь другого порядку; • будувати прямі, площини та криві і поверхні 2-го порядку; • будувати геометричні фігури та їх зображення на площині; • будувати зображення просторових фігур і їх комбінацій; • будувати перерізи фігур; • використовувати методи векторного числення та математичного аналізу для вивчення ліній та поверхонь в евклідовому просторі;

Робоча програма курсу

Автор (автори) курсу

Посилання на сторінки авторів

---

Учасники

Сторінка координування курсу "Назва курсу" викладач

---

Графік навчання

Змістовий модуль 1. Елементи векторної алгебри.

Тема 1. Поняття вектора. Дії над векторами. Означення вектора, колінеарних та рівних векторів. Вільні вектори. Додавання і віднімання векторів. Властивості додавання. Множення вектора на число. Властивості множення вектора на число. Поняття векторного простору. Умова колінеарності двох векторів у векторній формі.

Тема 2. Лінійна-залежність векторів. Базис векторного простору. Поняття лінійно-залежної та лінійно-незалежної системи векторів. Теореми про лінійну залежність векторів. Компланарні вектори. Теорема про розклад вектора за двома неколінеарними векторами. Теорема про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами. Поняття базису.

Тема 3. Координати вектора. Скалярний добуток векторів. Означення координат вектора. Теорема про координати лінійної комбінації векторів і наслідки з неї. Умова колінеарності двох векторів у координатній формі. Скалярний добуток векторів. Властивості. Теорема про скалярний добуток в координатах. Довжина вектора. Кут між векторами.

Змістовий модуль 2. Метод координат.

Тема 1. Метод координат. Поняття афінної системи координат. Координати точок. Побудова точок. Знаходження координат вектора. Поділ відрізка у заданому відношенні. Прямокутна система координат. Відстань між точками. Орієнтація площини. Формули перетворення афінних координат на площині. Перетворення прямокутних координат на площині. Орієнтація простору. Формули перетворення афінних систем координат у просторі. Полярна система координат. Зв’язок між прямокутними і полярними координатами. Приклади побудов кривих в полярній системі координат.

Тема 2. Векторний та мішаний добутки векторів. Означення векторного добутку. Властивості. Теорема про знаходження векторного добутку за координатами векторів. Знаходження площі трикутника. Приклади. Означення мішаного добутку векторів. Теореми про геометричний зміст мішаного добутку та знаходження мішаного добутку за координатами векторів. Властивості. Об’єм тетраедра.

Змістовий модуль 3. Пряма лінія на площині.

Тема 1. Поняття рівняння лінії. Рівняння прямої в афінній системі координат. Розміщення прямої відносно системи координат. Побудова прямої. Взаємне розташування двох прямих. Пучки прямих. Геометричний зміст знака Ax+By+C.

Тема 2. Пряма лінія в прямокутній системі координат. Рівняння прямої в прямокутній системі координат. Відстань від точки до прямої. Кут між прямими.

Змістовий модуль 4. Площина у просторі.

Тема 1. Площина. Рівняння площини. Рівняння площини в афінній системі координат. Площина в прямокутній системі координат. Приклади.

Тема 2. Відстань від точки до площини. Кут між площинами. Пучок і в’язка площин. Розміщення площини відносно системи координат. Побудова зображення площини. Взаємне розташування двох площин. Приклади. Взаємне розташування трьох площин. Геометричний зміст знака Ах+Ву+Сz+D .

Змістовий модуль 5. Пряма лінія у просторі.

Тема 1. Пряма у просторі. Взаємне розташування прямої і площини. Рівняння прямої у просторі. Взаємне розташування двох прямих. Взаємне розташування прямої і площини.

Тема 2. Кут між прямою і площиною. Кут між прямими у просторі. Відстань від точки до прямої у просторі. Відстань між мимобіжними прямими.

Змістовий модуль 6. Перетворення площини.

Тема 1. Рухи площини. Перетворення площини. Група перетворень площини та її підгрупи. Рухи площини. Властивості рухів. Два види руху. Аналітичне задання руху. Класифікація рухів площини. Група рухів та її підгрупи.

Тема 2. Подібність. Перетворення подібності. Гомотетія. Властивості гомотетії. Аналітичне задання подібності. Властивості подібності. Класифікація перетворень подібності. Група подібності, її підгрупи.

Тема 3. Афінні перетворення. Означення афінного перетворення. Аналітичне задання афінного перетворення. Група афінних перетворень та її підгрупи.

Змістовий модуль 7. Квадратичні форми. Криві та поверхні другого порядку.

Тема 1. Квадратичні форми та їх застосування. Поняття квадратичної форми. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду в n-вимірному векторному просторі. Приклади. Криві другого порядку та їх класифікація. Поверхні другого порядку та їх класифікація.

Тема 2. Криві на площині. Еліпс. Основні елементи еліпса. Параметричні рівняння еліпса. Побудова еліпса. Гіпербола. Основні елементи гіперболи. Побудова гіперболи. Теорема про рівносторонню гіперболу. Парабола. Основні елементи параболи. Побудова параболи. Афінна еквівалентність еліпсів (гіпербол). Подібність парабол. Теорема про геометричний зміст ексцентриситету кривих. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярних координатах. Дотичні до кривих другого порядку. Оптичні властивості еліпса, гіперболи та параболи. Приклади. Зведення рівняння кривої до канонічного вигляду в евклідовому векторному просторі та її побудова. Приклади.

Тема 3. Поверхні другого порядку та їх побудова. Поверхні обертання. Еліпсоїд. Дослідження форми еліпсоїда методом перерізів та його побудова у прямокутній системі координат. Конічні поверхні. Дослідження форми конуса методом перерізів та його побудова. Однопорожнинний та двопорожнинний гіперболоїди. Дослідження їх форми методом перерізів та побудова. Еліптичний, параболічний та гіперболічний параболоїди. Дослідження їх форми методом перерізів та побудова. Циліндричні поверхні. Пара площин, які перетинаються, пара паралельних площин. Дослідження їх форм методом перерізів. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку. Дотична площина до поверхні другого порядку. Приклади.

Змістовий модуль 8. Задачі на побудову.

Тема 1. Геометричні місця точок. Найпростіші задачі на побудову. Основні побудови. Схема розв’язування задач на побудову. Основні геометричні місця точок. Розв’язування задач на побудову методом перетину геометричних місць точок.

Тема 2. Застосування перетворень. Метод паралельного перенесення. Метод осьової симетрії. Метод обертання навколо точки. Метод подібності.

Тема 3. Алгебраїчний метод. Побудова відрізків, заданих найпростішими формулами. Суть алгебраїчного методу розв’язування задач на побудову.

Змістовий модуль 9. Основи проективної геометрії.

Тема 1. Проективний простір. Центральне проектування. Аксіоматика проективного простору. Принцип двоїстості. Моделі проективної геометрії. Теореми Дезарга. Складне відношення чотирьох точок прямої та чотирьох прямих пучка. Проективні координати на прямій. Проективні перетворення площини. Проективні координати на площині. Гомологія, як приклад проективного перетворення площини. Перспективні і проективні ряди і пучки. Гармонійна четвірка точок. Гармонійні властивості повного чотирикутника.

Тема 2. Криві 2-го порядку на проективній площині. Поняття кривої. Теорема Паскаля та її застосування для побудови кривої 2-го порядку. Теорема Бріаншона. Полюс і поляра. Поняття полярної відповідності. Побудови однією лінійкою.

Змістовий модуль 10. Методи зображень.

Тема 1. Зображення фігур. Паралельне проектування. Його властивості. Афінні відображення. Зображення плоских фігур в паралельній проекції. Теорема Польке – Шварца. Зображення многогранників в паралельній проекції. Зображення циліндра, конуса та сфери.

Тема 2. Аксонометрія. Зображення точок, прямих і площин в аксонометрії. Приклади побудов в аксонометрії. Метрично визначені зображення. Метод Монжа.

Тема 3. Побудова перерізів. Повні і неповні зображення. Позиційні задачі. Побудова перерізів призм і пірамід методом слідів та методом внутрішнього проектування. Побудова перерізів тіл обертання.

Змістовий модуль 11. Основи геометрії.

Тема 1. Різні аксіоматики евклідової геометрії. «Начала» Евкліда. Проблема V-го постулату та спроби його доведення. Огляд аксіоматики Гільберта. Аксіома паралельності як еквівалент V-го постулату. Несуперечливість аксіоматики Гільберта. Інші аксіоматики евклідової геометрії.

Тема 2. Неевклідові геометрії. Геометрія Лобачевського. Аксіоматика геометрії Лобачевського. Паралельні та розбіжні прямі та їх властивості. Кут паралельності. Функція Лобачевського. Типи пучків прямих на площині та в просторі Лобачевського. Моделі (інтерпретації) планіметрії Лобачевського. Незалежність V-го постулату. Елементи сферичної геометрії.

Змістовий модуль 12. Диференціальна геометрія.

Тема 1. Лінії в евклідовому просторі. Вектор-функція скалярного аргументу. Операції. Правила диференціювання. Лінії в евклідовому просторі. Різні види рівняння кривої. Довжина дуги. Натуральна параметризація. Тригранник Френе. Локальна система координат. Кривина і скрут. Формули Френе. Натуральні рівняння кривої. Плоска крива.

Тема 2. Поверхні в евклідовому просторі. Різні види рівнянь поверхні. Параметризація поверхні. Доточна площина і нормаль поверхні. Перша та друга квадратичні форми поверхні та їх застосування.

Змістовий модуль 13. Загальна топологія.

Тема 1. Метричні та топологічні простори. Метричні простори та їх властивості. Топологічні простори та їх властивості. Відображення топологічних просторів. Неперервність і гомеоморфізм. Топологічні многовиди та їх ейлерова характеристика.  

Зміст курсу

Змістовий модуль 1. Елементи векторної алгебри.

Тема 1. Поняття вектора. Дії над векторами. Означення вектора, колінеарних та рівних векторів. Вільні вектори. Додавання і віднімання векторів. Властивості додавання. Множення вектора на число. Властивості множення вектора на число. Поняття векторного простору. Умова колінеарності двох векторів у векторній формі.

Теоретичний матеріал

Лекція №1

Практичні завдання

Практична №1

Тема 2. Лінійна-залежність векторів. Базис векторного простору. Поняття лінійно-залежної та лінійно-незалежної системи векторів. Теореми про лінійну залежність векторів. Компланарні вектори. Теорема про розклад вектора за двома неколінеарними векторами. Теорема про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами. Поняття базису.

Теоретичний матеріал

Лекція №1

Лекція №2

Практичні завдання

Практична №1

Практична №2

Тема 3. Координати вектора. Скалярний добуток векторів. Означення координат вектора. Теорема про координати лінійної комбінації векторів і наслідки з неї. Умова колінеарності двох векторів у координатній формі. Скалярний добуток векторів. Властивості. Теорема про скалярний добуток в координатах. Довжина вектора. Кут між векторами.

Теоретичний матеріал

Лекція №1

Лекція №2

Практичні завдання

Практична №1

Змістовий модуль 2. Метод координат.

Тема 1. Метод координат. Поняття афінної системи координат. Координати точок. Побудова точок. Знаходження координат вектора. Поділ відрізка у заданому відношенні. Прямокутна система координат. Відстань між точками. Орієнтація площини. Формули перетворення афінних координат на площині. Перетворення прямокутних координат на площині. Орієнтація простору. Формули перетворення афінних систем координат у просторі. Полярна система координат. Зв’язок між прямокутними і полярними координатами. Приклади побудов кривих в полярній системі координат.

Теоретичний матеріал

Лекція №1

Лекція №2

Лекція №3

Лекція №4

Практичні завдання

Практична №1

Практична №2

Тема 2. Векторний та мішаний добутки векторів. Означення векторного добутку. Властивості. Теорема про знаходження векторного добутку за координатами векторів. Знаходження площі трикутника. Приклади. Означення мішаного добутку векторів. Теореми про геометричний зміст мішаного добутку та знаходження мішаного добутку за координатами векторів. Властивості. Об’єм тетраедра.

Теоретичний матеріал

Лекція №1

Практичні завдання

Практична №1

Практична №2

Самостійна робота

Самостійна робота №1

Змістовий модуль 3. Пряма лінія на площині.

Тема 1. Поняття рівняння лінії. Рівняння прямої в афінній системі координат. Розміщення прямої відносно системи координат. Побудова прямої. Взаємне розташування двох прямих. Пучки прямих. Геометричний зміст знака Ax+By+C.

Теоретичний матеріал

Лекція №1

Лекція №2

Практичні завдання

Практична №1

Практична №2

Тема 2. Пряма лінія в прямокутній системі координат. Рівняння прямої в прямокутній системі координат. Відстань від точки до прямої. Кут між прямими.

Теоретичний матеріал

Лекція №1

Лекція №2

Практичні завдання

Практична №1

Практична №2

Практична №3

Самостійна робота

Самостійна робота №1

---

Ресурси

Рекомендована література

Базова

1. Атанасян Л.С., Базилев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Просвещение, 1986.

2. Егоров И.П. Геометрия. – М.: Просвещение, 1979.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометри. – М.: Наука, 1972.

4. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1968.

5. Кириченко В.В., Петкевич Н.Ю., Петравчук А.П. Аналітична геометрія. – К.: ВПЦ «Київський університет», 2003.

6. Яременко Ю.В., Лутченко Л.І. Аналітична геометрія. Ч.1. – Кіровоград: Антураж А, 2004 (2006)

7. Яременко Ю.В., Лутченко Л.І. Аналітична геометрія. Ч.2. – Кіровоград: Антураж А, 2005

8. Атанасян Л.С., Базилев В.Т. Геометрия. Ч.2. – М.: Просвещение, 1987.

9. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия – М.: Учпедгиз, 1961

10. Повзнер С.Л. . Проективная геометрия. – М.: Просвещение, 1980.

11. Яременко Ю.В. Зображення фігур в геометрії. – Кіровоград, 2016.

12. Трохименко В.С. Конспект лекцій з конструктивної геометрії. – Вінниця, 2012.

13. Борисенко О. А. Диференціальна геометрія і топологія. –Харків: Основа, 1995.

14. Погорелов А.В.Лекции по дифференциальной геометрии. – Харьков: ХГУ, 1967.

15. Євладенко В. М., Паращук С. Д. Практикум з основ диференціальної геометрії. – Кіровоград: РВЦ КДПУ, 2002.

16. Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологии. – М.:Мир, 1967.

17. АрхангельскийА.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. – М.: Наука, 1974.

18. Борисович Ю. Г., Близнюков Н. М. Введание в топологию. – М.: Высшая школа, 1980.

19. Гильберт Д. Основания геометрии. – М., Гостехиздат, 1948.

20. Евклид. Начала Евклида, т. I-III, кн. 1-15. М. – Л., Гостехиздат, 1948 – 1950.

21. Егоров И.Л. Лекции по аксиоматике Вейля и неевклидовым геометриям. Пособие для студентов. – Рязань, 1973.

22. Семенович О.Ф. Геометрія. Аксіоматичний метод. – К.: Радянська школа, 1980.

Інформаційні ресурси

---