Закон Гука та межі нелінійності
Закон Гука встановлює лінійну залежність між деформацією й механічними напруженнями. Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій. Він був сформульований Робертом Гуком у 1660.
Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану
У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого триженя або пружини
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F = - k x
,
де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.
Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтягу. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість стрижня, а не властивість матеріалу, з якого він виготовлений.
Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижень на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma = E \frac{\Delta l}{l} = E \epsilon
,
де: σ — механічне напруження, визначається, як сила, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла;
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon = \frac{\Delta l}{l}
— величина відносної деформації (відносне видовження);
- E – модуль Юнга.
Закон Гука для тривимірного напруженого стану
Закон Гука для тривимірного (складного) напруженого стану у випадку ізотропного матеріалу може бути записаний у вигляді системи рівнянь:
- для лінійних деформацій
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_x = \frac {1} {E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_y = \frac {1} {E} [\sigma_y - \nu(\sigma_z + \sigma_x)]
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon_z = \frac {1} {E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]
- для деформацій зсуву
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{xy} = \frac {\tau_{xy}} {G}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{xz} = \frac {\tau_{xz}} {G}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma_{yz} = \frac {\tau_{yz}} {G}
де:
- ε – деформація розтягу-стиску в точці,
- σ – напруження розтягу-стиску,
- γ – деформація зсуву (кутова) в точці,
- τ – напруження зсуву (дотичне напруження) в точці,
- G – модуль зсуву,
- E – модуль Юнга
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nu
- коефіцієнт Пуассона.
Закон можна сформулювати так: компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки.
Строга форма запису закону Гука
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{ik} = \sum_{lm} \lambda_{iklm} \varepsilon_{lm}
,
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{ik}
— тензор механічних напружень, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varepsilon_{lm}
— тензор деформації, а
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_{iklm}
— тензор чертвертого рангу, який називається тензор модулів пружності і
є характеристикою речовина|речовини.
