Відмінності між версіями «Область визначення двохетапної задачі з випадковим вектором обмежень.»
| Рядок 78: | Рядок 78: | ||
Згідно з вищерозглянутими твердженнями, задача, що розглядається, може бути записана у вигляді: | Згідно з вищерозглянутими твердженнями, задача, що розглядається, може бути записана у вигляді: | ||
| + | |||
| + | <math> \min_x Q(x)=\min+x \{cx+MP(x,b)\} (1)</math> | ||
| + | |||
| + | <math>A^{(1)}=b^{(1)}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>Sx\leqslant \alpha^*</math> | ||
| + | |||
| + | <math> x\geqslant 0 </math> | ||
| + | |||
| + | де <math> P(x,b)=\min_{y\in Y(x,b)} qy </math> | ||
| + | |||
| + | <math> Y(x,b)=\{y|By=b-Ax, y\geqslant 0\}</math> | ||
| + | |||
| + | для заданих х і b. | ||
| + | |||
| + | Має місце наступна лема: | ||
| + | |||
| + | Лема 4. Нехай <math>x^0</math> – розв’язок задачі опуклого програмування (1)-(4). Тоді <math>x^0</math> є розв’язком наступної задачі лінійного програмування: | ||
| + | |||
| + | <math> cx\rightarrow \min </math> | ||
| + | |||
| + | <math> A^{(1)}x=b^{(1)} </math> | ||
| + | |||
| + | <math> Sx\leqslant \alpha^* </math> | ||
| + | |||
| + | <math> Ax=Ax^0 </math> | ||
| + | |||
| + | <math> x\geqslant 0 </math> | ||
| + | |||
| + | Теорема 2. Кожна розв’язна задача вигляду (1)-(4) має розв’язок x*, в якому додатні (базисні) складові вектора x* відповідають лінійно незалежним стовпчикам матриці: | ||
| + | |||
| + | <math>\begin{pmatrix} A^{(1)} \\ S \\ A \end{pmatrix} </math> | ||
| + | |||
| + | Доведення: Нехай <math> x^0 </math> – розв’язок задачі (1)-(4). Згідно з лемою 4, вектор <math> x^0 </math> є розв’язком задачі (7)-(11). Також легко бачити, що оптимальний план <math> \tilde{x} </math> задачі (7)-(11) є оптимальним планом задачі (1)-(4). Дійсно, з того, що <math> A\tilde{x}=Ax^0 </math> випливає, що <math> P(\tilde{x},b(\omega))=P(x^0,b(\omega))</math> для всіх <math> \omega\in\Omega </math>. А за цих умов мінімум <math>Q(x)</math> досягіється при <math> c\tilde{x}=cx^0 </math>. | ||
| + | |||
| + | Оскільки задача лінійного програмування (7)-(11) має оптимальний план x^0, вона повинна мати і опорний оптимальний план. Позначимо його через x*. Тоді базисним компонентам вектора x* відповідають лінійно незалежні стовбці матриці | ||
| + | |||
| + | <math>\begin{pmatrix} A^{(1)} \\ S \\ A \end{pmatrix} </math> | ||
| + | |||
| + | і x* – розв’язок задачі (1)-(4). | ||
| + | |||
| + | Теорема доведена. | ||
| + | |||
| + | Наслідок 1. Кожна розв’язна задача вигляду (1)-(4) має розв’язок x*, в якому базисні складові вектора x* відповідають лінійно незалежним стовпчикам матриці: | ||
| + | |||
| + | <math>\begin{pmatrix} A^{(1)} \\ A \end{pmatrix} </math> | ||
| + | |||
| + | Це твердження слідує з теореми 2 через те, що <math> S=B^* A</math>. | ||
| + | |||
| + | Наслідок 2. Нехай ранг матриці А дорівнює <math> r (\leqslant m)</math> і задача (1)-(4) розв’язна. Тоді ця задача має розв’язок x*, в якому не більше, m+r складових вектора x* додатні. | ||
| + | |||
| + | Це твердження слідує з наслідку 1. | ||
Виконав: [[Користувач:Олійник_Артем|Олійник Артем Олександрович]] | Виконав: [[Користувач:Олійник_Артем|Олійник Артем Олександрович]] | ||
Версія за 13:01, 13 квітня 2013
Розглянемо двоетапну задачу стохастичного програмування:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_x m_{\infty}\{cx+P(x,A,b)\}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A^{(1)}x=b^{(1)}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \geqslant 0
Нехай випадковими є тільки складові вектора обмежень b. Всі інші параметри умов задачі – детерміновані.
Єдине припущення, з яким ми пов’язуємо вибір випадкового вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b(\omega) , заключається в тому, що його розподіл не повинен залежати від вибору попереднього плану x.
Згідно раніше розглянутої теореми, для загальної двоетапної задачі множина K попередніх планів – опукла. Для розглянутого часткового випадку можна довести більш сильне твердження. Виявляється, що в цьому випадку множина K не тільки опукла, але й багатогранна. Більше того, можна явно записати систему лінійних нерівностей, що визначають множину К.
Нагадаємо деякі поняття, що необхідні для наступних побудов.
Як відомо, опуклий багатогранний Конус С може бути представлений або як невід’ємна комбінація скінченного числа векторів, або як перетин скінченного числа півпросторів.
Еквівалентність двох визначень опуклого багатогранного конуса С використовується для приведення у відповідність кожній матриці В так звану полярну матрицю Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B^* .
Матриця Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B^*
(розмірності Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): l x m
) називається полярною до матриці В (розмірності Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m x n_1 ), якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B^*
— матриця з мінімальним числом рядків, що задовольняють умові:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C=\{t|\exist y\geqslant 0, t=By\}=\{t|B^* t\geqslant 0\}
Введемо множини:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N=\{\chi|\forall (\omega \in \Omega) \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-\chi\}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N(\omega)=\{\chi| \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-\chi\}
Зрозуміло, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N=\cap_{\omega \in \Omega}N(\omega)
Раніше були введені множини:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2 =\{x|\forall (\omega \in \Omega) \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-A(\omega)x\}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2(\omega) =\{x| \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-A(\omega)x\}
Ці множини пов'язані з множинами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N(\omega) співвідношеннями:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2=\{x|A(\omega)=\chi , \chi \in N\}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2(\omega)=\{x|A(\omega)=\chi , \chi \in N(\omega)\}
В наступних трьох лемах сформульовані властивості введених множин, які будуть використані для доведення твердження про багатогранність опуклої множини K – області визначення попередніх планів двоетапної задачі.
Лема 1. Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N(\omega)
– опукла, багатогранна множина, то Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2 (\omega)
– теж опукла багатогранна множина. Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N
– опукла, багатогранна множина, то Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2 – теж опукла багатогранна множина.
Лема 2. Множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N(\omega) може бути представлена у вигляді:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N(\omega)=\{\chi|B^* \chi \leqslant B^* b(\omega)\}
Лема 3. Множина N є опуклою багатогранною множиною, що визначається системою лінійних нерівностей:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B^* b(\omega) \leqslant\alpha_i^*,i=1,...,l
якщо для деякого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i,\alpha_i^*=-\infty
, множина N – порожня.
Теорема 1. Множина K планів детермінованої задачі, що еквівалентна двоетапній задачі стохастичного програмування, в якій випадковим є тільки вектор обмежень b, є опуклою багатогранною множиною.
Доведення: Множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K=K_1\cap K_2
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_1=\{x|A^{(1)}x=b^{(1)},x \geqslant 0\}
– випукла многогранна множина. Відповідно до лем 1 і 3 Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2=\{x|B^* Ax\leqslant \alpha^*\}
– теж є випуклою многогранною множиною.
Звідси випливає, що K – випукла многогранна множина.
Значить, K – випукла многогранна множина виду
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A^{(1)}x=b^{(1)}, Sx\leqslant \alpha^*, x\geqslant 0, S=B^* A .
Теорема доведена.
Дана теорема має в основному теоретичний інтерес, оскільки немає відносно простих способів побудови матриці B*, полярної до матриці B.
Розглянемо тепер деякі властивості двоетапної задачі, в якій випадковим є вектор Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b=b(\omega) .
Згідно з вищерозглянутими твердженнями, задача, що розглядається, може бути записана у вигляді:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_x Q(x)=\min+x \{cx+MP(x,b)\} (1)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A^{(1)}=b^{(1)}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Sx\leqslant \alpha^*
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geqslant 0
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x,b)=\min_{y\in Y(x,b)} qy
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y(x,b)=\{y|By=b-Ax, y\geqslant 0\}
для заданих х і b.
Має місце наступна лема:
Лема 4. Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^0
– розв’язок задачі опуклого програмування (1)-(4). Тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^0 є розв’язком наступної задачі лінійного програмування:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cx\rightarrow \min
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A^{(1)}x=b^{(1)}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Sx\leqslant \alpha^*
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Ax=Ax^0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geqslant 0
Теорема 2. Кожна розв’язна задача вигляду (1)-(4) має розв’язок x*, в якому додатні (базисні) складові вектора x* відповідають лінійно незалежним стовпчикам матриці:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ S \\ A \end{pmatrix}
Доведення: Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^0
– розв’язок задачі (1)-(4). Згідно з лемою 4, вектор Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^0
є розв’язком задачі (7)-(11). Також легко бачити, що оптимальний план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{x}
задачі (7)-(11) є оптимальним планом задачі (1)-(4). Дійсно, з того, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A\tilde{x}=Ax^0
випливає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(\tilde{x},b(\omega))=P(x^0,b(\omega))
для всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega\in\Omega
. А за цих умов мінімум Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)
досягіється при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c\tilde{x}=cx^0
.
Оскільки задача лінійного програмування (7)-(11) має оптимальний план x^0, вона повинна мати і опорний оптимальний план. Позначимо його через x*. Тоді базисним компонентам вектора x* відповідають лінійно незалежні стовбці матриці
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ S \\ A \end{pmatrix}
і x* – розв’язок задачі (1)-(4).
Теорема доведена.
Наслідок 1. Кожна розв’язна задача вигляду (1)-(4) має розв’язок x*, в якому базисні складові вектора x* відповідають лінійно незалежним стовпчикам матриці:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ A \end{pmatrix}
Це твердження слідує з теореми 2 через те, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S=B^* A
.
Наслідок 2. Нехай ранг матриці А дорівнює Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): r (\leqslant m)
і задача (1)-(4) розв’язна. Тоді ця задача має розв’язок x*, в якому не більше, m+r складових вектора x* додатні.
Це твердження слідує з наслідку 1.
Виконав: Олійник Артем Олександрович
