Відмінності між версіями «Рівняння Максвела»
(→Рівняння електродинаміки в диференціальній формі) |
(→Рівняння електродинаміки в диференціальній формі) |
||
| Рядок 4: | Рядок 4: | ||
Форма запису рівнянь Максвелла залежить від системи одиниць. Здебільшого фізики користуються формою запису в | Форма запису рівнянь Максвелла залежить від системи одиниць. Здебільшого фізики користуються формою запису в | ||
| − | системі | + | системі СГСГ. У системі СІ вибрана форма запису, в якій не фігурують множник <math> 4\pi </math> та швидкість світла с. Ідея полягала в тому, щоб записати рівняння Максвелла, як найфундаментальніші рівняння, в найпростішій формі. Однак це призвело до появи зайвих множників |
в інших основних рівняннях, наприклад, законі Кулона. Крім того напруженості електричних та магнітного полів отримали різні розмірності, що з | в інших основних рівняннях, наприклад, законі Кулона. Крім того напруженості електричних та магнітного полів отримали різні розмірності, що з | ||
точки зору фізика є великим недоліком. Оскільки рівняння Максвелла описують розповсюдження електромагнітних хвиль, то бажано також, щоб | точки зору фізика є великим недоліком. Оскільки рівняння Максвелла описують розповсюдження електромагнітних хвиль, то бажано також, щоб | ||
Версія за 19:45, 8 травня 2012
Рівня́ння Ма́ксвелла — це основні рівняння класичної електродинаміки, які описують електричне та магнітне поле, створене зарядами й струмами.
Зміст
Рівняння електродинаміки в диференціальній формі
Форма запису рівнянь Максвелла залежить від системи одиниць. Здебільшого фізики користуються формою запису в системі СГСГ. У системі СІ вибрана форма запису, в якій не фігурують множник Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 4\pi
та швидкість світла с. Ідея полягала в тому, щоб записати рівняння Максвелла, як найфундаментальніші рівняння, в найпростішій формі. Однак це призвело до появи зайвих множників
в інших основних рівняннях, наприклад, законі Кулона. Крім того напруженості електричних та магнітного полів отримали різні розмірності, що з точки зору фізика є великим недоліком. Оскільки рівняння Максвелла описують розповсюдження електромагнітних хвиль, то бажано також, щоб їхня швидкість (швидкість світла) входила в рівняння.
СГСГ
У вакуумі
У диференційній формі рівняння Максвелла для вакууму мають такий вигляд
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{rot} \, \mathbf{B} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{j}
,
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{rot} \, \mathbf{E} = - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
,
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{div} \, \mathbf{B} = 0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{div} \, \mathbf{E} = 4\pi \rho
.
Рівняння записані в системі СГС. Тут Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{E} — напруженість електричного поля, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{B}
—
вектор магнітної індукції, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \rho — густина електричного заряду, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{j} — густина електричного струму, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c — швидкість світла.
У середовищі
У речовині електричне та магнітні поля характеризуються додатковими векторами: електричною індукцією та напруженістю магнітного поля, зв'язаних з, відповідно, напруженістю електричного поля й магнітною індукцією співвідношення, які називають матеріальними. У загальному вигляді матеріальні співвідношення мають складну нелокальну форму, тому при запису основних рівнянь електродинаміки їх не наводять. Рівняння набирають вигляду
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{rot} \, \mathbf{H} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{j}
,
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{rot} \, \mathbf{E} = - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
,
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{div} \, \mathbf{B} = 0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{div} \, \mathbf{D} = 4\pi \rho_{f}
.
Тут Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \rho_{f}
- густина вільних зарядів. Внесок зв'язаних зарядів враховується при визначенні вектора електричної індукці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{D}
.
СІ
У системі СІ навіть для вакууму вводяться дві додаткові характеристики електромагнітного поля: вектор електричної індукції та напруженість магнітного поля. У вакуумі вони пов'язані з напруженістю електричного поля та магнітною індукцією за допомогою сталих множників
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{B}= \mu_0\mathbf{H}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{D}= \varepsilon_0\mathbf{E}
,
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varepsilon_0 — електрична стала, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu_0 — магнітна стала, тому система диференційних рівнянь Максвелла має такий вигляд:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{rot} \, \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{j}
,
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{rot} \, \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
,
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{div} \, \mathbf{B} = 0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{div} \, \mathbf{D} = \rho
.
У речовині рівняння зберігають свій вигляд, за винятком того, що матеріальні співвідношення, тобто зв'язкок між Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{D}
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{E}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{B}
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{H}
мають складнішу форму, і замість густини усіх електричних зарядів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \rho
враховуються тільки вільні електричні заряди.
Пояснення
Перше рівняння Максвелла (закон Ампера) визначає магнітне поле, створене струмом із густиною Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{j}
або ж наведене змінним електричним полем.
Друге рівняння Максвелла (закон Фарадея) визначає електричне поле, яке виникає при зміні напруженості магнітного поля.
Трете рівняння Максвелла (теорема Гауса) стверджує, що не існує монопольних магнітних зарядів.
Четверте рівняння Максвелла (рівняння Пуассона) стверджує, що навколо електричних зарядів існує електричне поле. Це рівняння аналогічне закону Кулона.
Таблиця рівнянь у СІ
У СІ рівняння електродинаміки підсумовуються як:
| Lp. | Диференційне рівняння | Інтегральне рівняння | Назва | Явище, котре описує рівняння |
|---|---|---|---|---|
| 1. | Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}} | Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \oint\limits_L \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\mbox{d}\Phi_B}{\mbox{d}t} | закон Фарадея | Змінне у часі магнітне поле викликає вихрове електричне поле. |
| 2. | Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla \times \vec{H} = \vec{j} +\frac{\partial \vec{D}} {\partial {t}} | Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \oint\limits_L \vec{H} \cdot \mbox{d}\vec{l} = I + \frac{\mbox{d}\Phi_D}{\mbox{d}t} | Закон Ампера, розширений Максвеллом | Електричний струм і змінне електричне поле створюють магнітне поле. |
| 3. | Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla \cdot \vec{D} = \rho | Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \oint\limits_S \vec{D} \cdot \mbox{d}\vec{s} = \int\limits_V \rho \cdot \mbox{d}V | закон Гауса для електрики | Джерело електричного поля — заряди |
| 4. | Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla \cdot \vec{B} = 0 | Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \oint\limits_S \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{s} = 0 | Закон Гауса для магнітного поля | Не існує заряду магнітного поля, силові лінії магнітного поля замкнені. |
де:
- D — електрична індукція [ К / м²]
- B — магнітна індукція [ T ]
- E — напруженість електричного поля [ В / м ]
- H — напруженість магнітного поля [ A / м ]
- ΦD — потік електричної індукції [ Кл = A·с]
- ΦB — магнітний потік [ Вб ]
- j — густина струму [А/м²]
- ρ — густина заряду [ Кл / м2]
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla \cdot
— оператор дивергенції [1/м],
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla \times
— оператор ротора [1/м].
