Відмінності між версіями «Дві леми двоїстості»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(Дві леми двоїстості)
(Дві леми двоїстості)
Рядок 1: Рядок 1:
 
===Дві леми двоїстості===
 
===Дві леми двоїстості===
   '''Лема 3.1''' (основна нерівність теорії двоїстості). Якщо <math>X=(x_1,x_2\ldots,x_n)</math> та <math>Y=(y_1,y_2,\ldots,y_m)</math>— допустимі розв’язки <br>  відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність:  
+
   '''Лема 3.1''' (основна нерівність теорії двоїстості). Якщо <math>X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> та <math>Y=(y_1,y_2,\ldots,y_m)</math>— допустимі розв’язки <br>  відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність:  
 
<center> <math>F(X)  \le  Z(Y)</math> або <math>\sum_{j=1}^n c_j x_j \le \sum_{i=1}^m b_i y_i  .</math>                                      (3.7)</center>
 
<center> <math>F(X)  \le  Z(Y)</math> або <math>\sum_{j=1}^n c_j x_j \le \sum_{i=1}^m b_i y_i  .</math>                                      (3.7)</center>
  
 
''Доведення.''Помножимо кожне рівняння системи (3.2) на відповідну змінну двоїстої задачі:
 
''Доведення.''Помножимо кожне рівняння системи (3.2) на відповідну змінну двоїстої задачі:
 
<center><math>\left\{ {\begin{array}{l}
 
<center><math>\left\{ {\begin{array}{l}
a_11 x_1 + a_12 x_2 + \ldots + a_1n x_n \le b_1; y_1 \\
+
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n \le b_1; y_1 \\
a_21 x_1 + a_22 x_2 + \ldots+ a_2n x_n \le b_2; y_2 \\
+
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots+ a_{2n} x_n \le b_2; y_2 \\
 
................................ \\
 
................................ \\
a_m1 x_1 + a_m2 x_2 + \ldots + a_mn x_n \le b_m; y_m \\
+
a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n \le b_m; y_m \\
 
\end{array}} \right.</math></center>
 
\end{array}} \right.</math></center>
  
Рядок 14: Рядок 14:
  
 
<center><math>\left\{ {\begin{array}{l}
 
<center><math>\left\{ {\begin{array}{l}
a_11 x_1 y_1+ a_12 x_2 + ... + a_1n x_n \le b_1; y_1 \\
+
a_{11} x_1 y_1 + a_{12} x_2 y_1 + \ldots + a_{1n} x_n y_1 \le b_1 y_1 \\
a_21 x_1 + a_22 x_2 + ... + a_2n x_n \le b_2; y_2 \\
+
a_{21} x_1 y_2 + a_{22} x_2 y_2 + \ldots+ a_{2n} x_n y_2 \le b_2 y_2 \\
 
................................ \\
 
................................ \\
a_m1 x_1 + a_m2 x_2 + ... + a_mn x_n \le b_m; y_m \\
+
a_{m1} x_1 y_m + a_{m2} x_2 y_m + \ldots + a_{mn} x_n y_m \le b_m y_m \\
 
\end{array}} \right.</math></center>
 
\end{array}} \right.</math></center>

Версія за 09:03, 4 травня 2012

Дві леми двоїстості

  Лема 3.1 (основна нерівність теорії двоїстості). Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y=(y_1,y_2,\ldots,y_m)

— допустимі розв’язки
відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(X) \le Z(Y)
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n c_j x_j \le \sum_{i=1}^m b_i y_i  .
(3.7)

Доведення.Помножимо кожне рівняння системи (3.2) на відповідну змінну двоїстої задачі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n \le b_1; y_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots+ a_{2n} x_n \le b_2; y_2 \\ ................................ \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n \le b_m; y_m \\ \end{array}} \right.

Маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} a_{11} x_1 y_1 + a_{12} x_2 y_1 + \ldots + a_{1n} x_n y_1 \le b_1 y_1 \\ a_{21} x_1 y_2 + a_{22} x_2 y_2 + \ldots+ a_{2n} x_n y_2 \le b_2 y_2 \\ ................................ \\ a_{m1} x_1 y_m + a_{m2} x_2 y_m + \ldots + a_{mn} x_n y_m \le b_m y_m \\ \end{array}} \right.