Відмінності між версіями «Мережі Петрі»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(→‎Мережа Петрі)
Рядок 1: Рядок 1:
 
== Мережа Петрі==
 
== Мережа Петрі==
−
[[Image:Проста мережа Петрі.JPG|thumb|right|Рис.1 Проста мережа Петрі з одним переходом, трьома вузлами, два з яких містять маркери]]
+
 
  
 
'''Мережа Петрі – це графічний і математичний засіб моделювання систем і процесів.'''  
 
'''Мережа Петрі – це графічний і математичний засіб моделювання систем і процесів.'''  
Рядок 8: Рядок 8:
 
Як правило, мережами Петрі моделюють паралельні (синхронні та асинхронні) системи і процеси. Спочатку запропоновані в докторській дисертації Карла Петрі в 1962 році вони одержали подальший розвиток у роботах таких вчених як Тадао Мурата, Курт Йенсен, Віталій Котов, Анатолій Слєпцов. В останні часи проводиться щорічна конференція «Застосування і теорія мереж Петрі», видається в Боні інформаційний бюлетень «Новини мереж Петрі» (Petri Net Newsletter), відомо декілька сот моделюючих систем для різних програмно-апаратних платформ, існують реалізації процесорів мереж Петрі. Галузі застосування мереж Петрі включають дослідження телекомунікаційних мереж, мережних протоколів, обчислювальних систем і обчислювальних процесів, виробничих і організаційних систем.
 
Як правило, мережами Петрі моделюють паралельні (синхронні та асинхронні) системи і процеси. Спочатку запропоновані в докторській дисертації Карла Петрі в 1962 році вони одержали подальший розвиток у роботах таких вчених як Тадао Мурата, Курт Йенсен, Віталій Котов, Анатолій Слєпцов. В останні часи проводиться щорічна конференція «Застосування і теорія мереж Петрі», видається в Боні інформаційний бюлетень «Новини мереж Петрі» (Petri Net Newsletter), відомо декілька сот моделюючих систем для різних програмно-апаратних платформ, існують реалізації процесорів мереж Петрі. Галузі застосування мереж Петрі включають дослідження телекомунікаційних мереж, мережних протоколів, обчислювальних систем і обчислювальних процесів, виробничих і організаційних систем.
  
−
==Комп'ютерні моделюючі системи==
+
==Прості мережі Петрі==
 +
[[Image:Проста мережа Петрі.JPG|thumb|right|Рис.1 Проста мережа Петрі з одним переходом, трьома вузлами, два з яких містять маркери]]
  
−
Pndpi, Tina, Design/CPN
+
Мережа Петрі є орієнтованим дводольним графом, який має чотири базових елементи: вузди, або місця(places), переходи(transitions), дуги(arcs) і маркери(tokens).
 +
Вузли позначаються кружками і визначають стан, в якому може знаходитись мережа або її частина.
 +
Переходи-це активні елементи мережі, які позначають дії, виконувані під час спрацювання переходів. Для того щоб перехід міг спрацювати, необхідне виконання певних умов, які визначаються наявністю маркерів у вузлах мережі, з'єднаних з переходом. Якщо умови настання подій виконано, то вважають, що перехід збуджений. Переходи позначаються короткими вертикальними або горизонтальними лініями.
 +
Вузли та переходи з'єднуються орієнтованими ребрами (дугами). Два вузли або два переходи з'єднуватись дугами не можуть.
  
−
== Визначення ==
+
Функціонування мережі Петрі можна описати так: вузли як певні умови, а переходи-як події. Таким чином, стан мережі в кожний момент часу задається системою умов. Для зручності задання  умов мережі Петрі вводяться маркери(фішки), які зображуються крапками всередині вузлів. Виникнення певної комбінації маркерів у вузлах приводить до настання деякої події, яка у свою чергу викликає зміну стану умов мережі. Стан маркування або стан мережі Петрі визначаеться сукупністю маркерів кожного окремого вузда мережі.
−
Мережа Петрі задається у вигляді [[Мічений граф|маркованого]] [[Дводольний граф|дводольного]] [[Орієнтований граф|орієнтованого]] [[Граф (математика)|графу]]. Розрізняють два види вершин:
+
−
* Позиції. '''P''' — множина позицій,
+
−
* Переходи. '''T''' — множина переходів.
+
  
−
[[Ребро графа|Ребра]] називають ''дугами''. [[Петля в графі|Петлі]] в графі мереж Петрі неможливі, оскільки дуги можуть з'єднувати лише вершини різних типів (позиції та переходи). Позиції що з'єднані дугами з переходом називають вхідними та вихідними для цього переходу, відповідно до напрямку цих дуг.
 
  
−
Кожній позиції приписують деяке ціле додатнє число<br />
+
==Комп'ютерні моделюючі системи==
−
: <math>\mu_p \in \mathbb{N} \cup \{0\}</math><br />
+
−
що називається маркуванням. Сукупність маркувань всіх позицій можна записувати у вигляді [[Вектор|вектора]].
+
  
−
Таким чином, для того щоб задати мережу Петрі, необхідно задати пару<br />
+
Pndpi, Tina, Design/CPN
−
: <math>\left\langle\mathbf N, \mu_0 \right\rangle</math><br />
+
−
де <math>\mu_0 = \left\{\mu(p_1),\mu(p_2),...\mu(p_n)\right\}</math>&nbsp;— вектор маркування позицій, <math>\mathbf N</math>&nbsp;— структура мережі Петрі:<br />
+
−
: <math>\mathbf N = \left\langle\mathbf P, \mathbf T, \mathbf I, \mathbf O \right\rangle</math>.<br />
+
−
де <math>\mathbf P</math>&nbsp;— [[множина|множина]] позицій, <math>\mathbf T</math>&nbsp;— [[множина|множина]] переходів, <math>\mathbf I</math>&nbsp;— вхідна функція, <math>\mathbf O</math>&nbsp;— вихідна функція.<br />
+
−
Вхідна та вихідна функції задаються у вигляді [[множина|множин]] комлектів позицій, які є вхідними та вихідними для заданого переходу:
+
−
: <math>\mathbf I = \left\{\mathbf I(t_j)\right\}</math>, <math>\mathbf \mathbf I(t_j) = \left\{p_k\right\}</math>.<br />
+
−
: <math>\mathbf O = \left\{\mathbf O(t_j)\right\}</math>, <math>\mathbf \mathbf O(t_j) = \left\{p_k\right\}</math>.<br />
+
−
Комплект&nbsp;— узагальнення [[множина|множини]], в якому допускається багаторазове включення однакових елементів. Для комплектів визначається операція кратності. Для запису функції кратності використовується символ #. Кратність вхідної (вихідної) позиції <math>p_i</math> для переходу <math>t_j</math> це кількість появ позиції <math>p_i</math> у вхідному (вихідному) комплекті переходу <math>t_j</math>:
+
−
: <math>\#(p_i, \mathbf I(t_j))</math>.<br />
+
−
Альтернативною формою представлення вхідної та вихідної функції є задання множини дуг та окремого вектору кратності (ваги) дуг.<br />
+
−
Виконання переходу можливе лише за наявності достатньої кількості «фішок» у його вхідних позиціях. Умова можливості виконання переходу <math>t_j</math>:<br />
+
−
: <math>\mu(p_i) \ge \;\#\left(p_i, \mathbf I(t_j)\right) \forall p_i\in\mathbf P</math>.<br />
+
−
Результатом виконання переходу є зміна кількості «фішок» у вхідних та вихідних позиціях цього переходу, тобто зміна маркування (стану) мережі Петрі. Нове маркування <math>\mu^{i+1}</math> визначається таким співвідношенням:<br />
+
−
: <math>\mu^{i+1}(p_i) = \mu^i(p_i) - \#(p_i, \mathbf I(t_j)) + \#(p_i, \mathbf O(t_j))</math>,<br />
+
−
де <math>t_j</math>&nbsp;— перехід що виконується <math>\mu^{i}(p_i)</math>&nbsp;— попереднє маркування.<br />
+
−
Цей вираз дозволяє записати векторну функцію наступного стану, яка виражає наступне маркування мережі Петрі через попереднє маркування та перехід що виконується:
+
−
: <math>\mu^{i+1} = \delta\left(\mu^i, t_j\right)</math>.<br />
+
−
Для заданої послідовності виконання переходів <math>\sigma = \left\langle t_{j1}, t_{j2},... ,t_{jl}\right\rangle</math> використовується розширена функція наступного стану:
+
−
: <math>\mu^{i+l} = \delta\left(\mu^i, \sigma\right) = \delta\left(... \delta\left(\delta\left(\mu^i, t_{j1}\right), t_{j2}\right),... ,t_{jl}\right)</math>.<br />
+
−
 
+
−
Виконання переходів є атомарним, тобто перехід змінює стан всіх вхідних та вихідних позицій [[транзакція|однією дією]], яка не може бути перервана виконанням іншого переходу.
+
−
Виконання мереж Петрі в цілому є недетермінованим:
+
−
:# відразу декілька переходів можуть бути дозволеними, і кожен з них може бути виконаний
+
−
:# дозволені переходи не обов'язково виконуються. Дозволений перехід '''може''' бути виконаний.
+
−
Взагалі, мережі Петрі не розглядають поняття «часу» виконання переходу, а лише послідовність виконань. За допомогою мереж Петрі можна моделювати такі якості як:
+
−
* [[Асинхронність|асинхронність]],
+
−
* [[Конфліктність|конфліктнісь]],
+
−
* [[Паралелізм (інформатика)|паралелізм]].
+
  
  

Версія за 00:02, 24 травня 2011

Мережа Петрі

Мережа Петрі – це графічний і математичний засіб моделювання систем і процесів.

Графічно представляється у вигляді дводольного орієнтованого мультиграфу з маркерами («фішками») (маркований орієнтований граф), який має дві групи вершин: позиції та переходи. Позиції можуть бути пустими або маркованими та визначають <стан> мережі. Переходи визначають дії. Орієнтовані ребра графу задають зв'язки між позиціями та переходами. Процес функціонування мережі Петрі полягає в послідовному «виконанні» переходів, та відповідному перерахункові кількості «фішок» у позиціях. Дуги можуть бути кратними, коли два вузли з'єднані більше ніж однією дугою однакового напрямку. Альтернативно, для відображення кратності дуг може використовуватися функція «ваги» дуг.

Як правило, мережами Петрі моделюють паралельні (синхронні та асинхронні) системи і процеси. Спочатку запропоновані в докторській дисертації Карла Петрі в 1962 році вони одержали подальший розвиток у роботах таких вчених як Тадао Мурата, Курт Йенсен, Віталій Котов, Анатолій Слєпцов. В останні часи проводиться щорічна конференція «Застосування і теорія мереж Петрі», видається в Боні інформаційний бюлетень «Новини мереж Петрі» (Petri Net Newsletter), відомо декілька сот моделюючих систем для різних програмно-апаратних платформ, існують реалізації процесорів мереж Петрі. Галузі застосування мереж Петрі включають дослідження телекомунікаційних мереж, мережних протоколів, обчислювальних систем і обчислювальних процесів, виробничих і організаційних систем.

Прості мережі Петрі

Рис.1 Проста мережа Петрі з одним переходом, трьома вузлами, два з яких містять маркери

Мережа Петрі є орієнтованим дводольним графом, який має чотири базових елементи: вузди, або місця(places), переходи(transitions), дуги(arcs) і маркери(tokens). Вузли позначаються кружками і визначають стан, в якому може знаходитись мережа або її частина. Переходи-це активні елементи мережі, які позначають дії, виконувані під час спрацювання переходів. Для того щоб перехід міг спрацювати, необхідне виконання певних умов, які визначаються наявністю маркерів у вузлах мережі, з'єднаних з переходом. Якщо умови настання подій виконано, то вважають, що перехід збуджений. Переходи позначаються короткими вертикальними або горизонтальними лініями. Вузли та переходи з'єднуються орієнтованими ребрами (дугами). Два вузли або два переходи з'єднуватись дугами не можуть.

Функціонування мережі Петрі можна описати так: вузли як певні умови, а переходи-як події. Таким чином, стан мережі в кожний момент часу задається системою умов. Для зручності задання умов мережі Петрі вводяться маркери(фішки), які зображуються крапками всередині вузлів. Виникнення певної комбінації маркерів у вузлах приводить до настання деякої події, яка у свою чергу викликає зміну стану умов мережі. Стан маркування або стан мережі Петрі визначаеться сукупністю маркерів кожного окремого вузда мережі.


Комп'ютерні моделюючі системи

Pndpi, Tina, Design/CPN


Дослідження мережі Петрі

Основні методи дослідження мереж Петрі:

  1. Дерево досягальності,
  2. Графічний,
  3. Аналітичний,
  4. За допомогою еквівалентних перетвореннь.

Взагалі, мережі Петрі досліджують на такі властивості:

  1. Безпечність — досліджує виконання умови що кількість «фішок» в позиції не перевищує 1;
  2. Обмеженість — досліджує виконання умови що кількість «фішок» в позиції не перевищує заданого числа,
  3. Зберігальність — досліджує виконання умови що кількість «фішок» в мережі не змінюється,
  4. Оберненість — для довільного досяжного стану досліджується існування послідовності виконань переходів яка повертає мережу в початковий стан),
  5. Активність переходів — досліджує можливість виконання певних переходів та наявність тупиків — станів у яких переходи не дозволені та для яких неможливо досягти стану в якому ці переходи дозволені,
  6. Досяжність маркування — досліджує існування послідовності виконань переходів при якій можна досягнути задане маркування,
  7. Покриття — досліджує існування послідовності виконань переходів при якій можна досягнути маркування що покриває, тобто є більшим за задане маркування.

Умова зберігальності може бути послаблена, для чого вводять поняття функції ваги:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf W:\qquad(\mathbf T \times \mathbf P) \cup (\mathbf P \times \mathbf T) \to \mathbb N \cup \{0\}


яка залишається постійною під час роботи.

Більшість досліджень мереж Петрі можна звести до побудови дерева досяжності.


Список використаної літератури

1.

2. Зайцев Д.А. Мережі Петрі і моделювання систем: Навчальній посібник // , Одеса 2006

3. Зайцев Д.А. Математичні моделі дискретних систем: Навчальний посібник // Одеса: ОНАЗ ім. О.С. Попова, 2004. – 40 с.

4. Математичні основи теорії телекомунікаційних систем / Підручник за загальною редакцію В.В. Поповського. – Харків, ТОВ «Компанія СМІТ», 2006. – 564 с.

5. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. – М. Мир, 1984. – 264 с.

6. Котов В.Е. Сети Петри. – М.: Наука, 1984. – 160 с.

7. Ачасова С.М., Бандман О.Л. Корректность параллельных вычислительных процессов. – Н.: Наука, 1990. – 253 с.

8. Слепцов А.И., Юрасов А.А. Автоматизация проектирования управляющих систем гибких автоматизированных производств / Под ред. Б.Н.Малиновского. – К.: Технiка, 1986. – 160 с.

Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Мережі_Петрі&oldid=47551