Відмінності між версіями «Задача СП: P-модель з імов. обмеж. з нормально розподіленими коефіц. цільвої функції, випадк. матрицею коефіц. обмежень. Детер. еквів. Приклад»
2533128 (обговорення • внесок) |
2533128 (обговорення • внесок) |
||
| Рядок 3: | Рядок 3: | ||
<font size=3><math>k \to min, P\{cx \leq k\}=\alpha</math> </font><br /> | <font size=3><math>k \to min, P\{cx \leq k\}=\alpha</math> </font><br /> | ||
| + | <font size=3> Еквівалентна детермінована задача дещо ускладняється, якщо замінити показник якості розв’язку стохастичної задачі і замість максимізації <math>M(cx)</math> використати мінімізацію границі при умові, що </font><br /> | ||
| + | |||
| + | <font size=3><math>P\{\sum_{j=0}^n\ c_j x_j \leq k\}=\alpha_0</math> </font><br /> | ||
| + | |||
| + | <font size=3>Будемо вважати при цьому, що випадкові коефіцієнти <math>c_j</math> розподілені нормально з математичним сподіванням <math>c_j</math> і кореляційною матрицею <math>c=\parallel c_ij\parallel</math>, де </font><br /> | ||
| + | <font size=3><math>c_{ij}=M(c_i - \bar{c_j})(c_j - \bar{c_j})</math></font><br /> | ||
| + | |||
| + | <font size=3>При прийнятих припущеннях про розподілення коефіцієнтів <math>c_j</math> лінійна форма <math>cx</math> є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням <math>\sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j</math> і дисперсією <math>\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j</math>: </font><br /> | ||
| + | <font size=3><math>cx \in N \{\sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j \sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j \}</math></font><br /> | ||
<font size=3> </font><br /> | <font size=3> </font><br /> | ||
| + | <font size=3>Тому співвідношення (1) може бути переписане в іншому вигляді. </font><br /> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | Виконала: [[Користувач: | + | <font size=3>Звідси видно, що мінімізація k при умові (1) еквівалентна мінімізації </font><br /> |
| + | <font size=3><math>k= \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j + F^{-1} (a_0) \sqrt{\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j} </math></font><br /> | ||
| + | |||
| + | <font size=3>При <math>a_0=0,5K</math> є випуклою вниз функцією <math>x</math>.</font><br /> | ||
| + | |||
| + | <font size=3>Таким чином, при зроблених припущеннях задачі СП </font><br /> | ||
| + | <font size=3><math>k \to min, P\{cx \leq k\}=\alpha_0</math> </font><br /> | ||
| + | |||
| + | <font size=3>Відповідає детермінований еквівалент </font><br /> | ||
| + | <font size=3><math>k= \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j + F^{-1} (a_0) \sqrt{\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j} \to min (2)</math></font><br /> | ||
| + | |||
| + | <font size=3>Задача (2) є задачею випуклого програмування. Для її розв’язку може бути використаний метод січних площин або один з варіантів методу можливих напрямків.</font><br /> | ||
| + | |||
| + | Виконала: [[Користувач:2533128|Сандирєва Марина]] | ||
Версія за 23:31, 28 травня 2018
Стохастичні задачі, в яких оптимізують ймовірність перевищення лінійної форми деякого порогу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{cx \geq c^0 x^0\}
називають Р-моделями. В цю групу також включають задачі, де потрібно мінімізувати поріг k, який не перевищує лінійної форми cx з заданою ймовірністю α:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k \to min, P\{cx \leq k\}=\alpha
Еквівалентна детермінована задача дещо ускладняється, якщо замінити показник якості розв’язку стохастичної задачі і замість максимізації Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M(cx)
використати мінімізацію границі при умові, що
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{\sum_{j=0}^n\ c_j x_j \leq k\}=\alpha_0
Будемо вважати при цьому, що випадкові коефіцієнти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_j
розподілені нормально з математичним сподіванням Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_j і кореляційною матрицею Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c=\parallel c_ij\parallel
, де
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_{ij}=M(c_i - \bar{c_j})(c_j - \bar{c_j})
При прийнятих припущеннях про розподілення коефіцієнтів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_j
лінійна форма Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cx
є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j
і дисперсією Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cx \in N \{\sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j \sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j \}
Тому співвідношення (1) може бути переписане в іншому вигляді.
Звідси видно, що мінімізація k при умові (1) еквівалентна мінімізації
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k= \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j + F^{-1} (a_0) \sqrt{\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j}
При Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0=0,5K
є випуклою вниз функцією Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x
.
Таким чином, при зроблених припущеннях задачі СП
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k \to min, P\{cx \leq k\}=\alpha_0
Відповідає детермінований еквівалент
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k= \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j + F^{-1} (a_0) \sqrt{\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j} \to min (2)
Задача (2) є задачею випуклого програмування. Для її розв’язку може бути використаний метод січних площин або один з варіантів методу можливих напрямків.
Виконала: Сандирєва Марина
