Відмінності між версіями «Дії над рядами»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 1: Рядок 1:
 +
'''<font color='blue' size=4>Ряд Фур'є</font>''' — спосіб представлення довільної складної функції сумою простіших. В загальному випадку кількість таких функцій може бути нескінченною, при цьому чим більше таких функцій враховується при розрахунку, тим вищою стає кінцева точність представлення даної функції.
 +
 
Ряди Фур'є застосовні до достатньо широкого класу функцій.
 
Ряди Фур'є застосовні до достатньо широкого класу функцій.
 +
 +
Ряди названі на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є.
 +
 +
''Тригонометричним рядом Фур'є'' називають функційний ряд виду
 +
: <math>\frac{a_0}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}{a_k}\cos(kx)+{b_n}\sin(kx)</math>
  
 
== Комплексна форма ряду Фур'є (на проміжку <math>[-\pi;\pi]</math>) ==
 
== Комплексна форма ряду Фур'є (на проміжку <math>[-\pi;\pi]</math>) ==
  
−
Вираз :<math>f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}</math>  
+
:'''<font color='green' size=3>Означення</font>:'''
  
−
називається комплексною формою ряда Фур'є функції <math>f(x)</math>, якщо визначається рівністю
+
вираз :<math>f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}</math>
 +
 
 +
називається <font color='magenta' >комплексною формою</font> ряда Фур'є функції <math>f(x)</math>, якщо визначається рівністю
  
 
<math>c_k=\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-{ikx}} dx</math>, де <math>k=0,\pm1,\pm2,...</math>
 
<math>c_k=\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-{ikx}} dx</math>, де <math>k=0,\pm1,\pm2,...</math>
Рядок 20: Рядок 29:
  
 
<math>n\in{\mathbb{N}}</math>
 
<math>n\in{\mathbb{N}}</math>
 +
 +
:'''<font color='green' size=3>Означення</font>:'''{<math>c_k</math>}, <math>k\in{\mathbb{Z}}</math> називається <font color='magenta'>комплексним спектром</font> функції <math>f(x)</math> або амплітуди гармонік.
 +
 +
<math>f(x)\thicksim\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}</math>
  
 
== Дії над рядами ==
 
== Дії над рядами ==
Рядок 26: Рядок 39:
 
'''<font color='red' size=3>Теорема</font>'''
 
'''<font color='red' size=3>Теорема</font>'''
 
:Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям <math>f(x)</math> і <math>g(x)</math>:  
 
:Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям <math>f(x)</math> і <math>g(x)</math>:  
−
:<math>f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}</math>   
+
:<math>f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}</math>   
−
:<math>g(x)=\sum^{+\infty}_{m=-\infty} {d}_{m}{e}^{imx}</math>
+
:<math>g(x)=\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}</math>
−
:Тоді коефіцієнти функції добутку <math>{C}_{n}({f}\cdot{g})</math> отримуються у вигляді згортки коефіцієнтів  <math>{c}_{k}</math> i <math>{d}_{m}</math> , тобто <math>{C}_{n}</math> від добутку <math>f(x)</math> на <math>g(x)</math>:
+
:Тоді коефіцієнти функції добутку <math>{c}_{n}({f}\cdot{g})</math> отримуються у вигляді згортки коефіцієнтів  <math>{c}_{k}</math> i <math>{d}_{m}</math> , тобто <math>{c}_{n}</math> від добутку <math>f(x)</math> на <math>g(x)</math>:
−
:<math>{C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}</math>
+
:<math>{c}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}</math>
  
−
''Доведення.''
+
''<font color='yellow'>Доведення.</font>''
  
 
:<math>{f(x)}\cdot{g(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}\cdot\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{c}_{k}{d}_{m}{e}^{i(k+m)x}=</math>
 
:<math>{f(x)}\cdot{g(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}\cdot\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{c}_{k}{d}_{m}{e}^{i(k+m)x}=</math>
Рядок 39: Рядок 52:
 
:<math>=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}{e}^{inx}=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}(\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}){e}^{inx}</math>
 
:<math>=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}{e}^{inx}=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}(\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}){e}^{inx}</math>
  
−
Отже: <math>{C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}</math>
+
Отже: <math>{c}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}</math>
 
Теорему доведено <math>\blacksquare</math>
 
Теорему доведено <math>\blacksquare</math>
  

Версія за 22:39, 20 травня 2010

Ряд Фур'є — спосіб представлення довільної складної функції сумою простіших. В загальному випадку кількість таких функцій може бути нескінченною, при цьому чим більше таких функцій враховується при розрахунку, тим вищою стає кінцева точність представлення даної функції.

Ряди Фур'є застосовні до достатньо широкого класу функцій.

Ряди названі на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є.

Тригонометричним рядом Фур'є називають функційний ряд виду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{a_0}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}{a_k}\cos(kx)+{b_n}\sin(kx)


Комплексна форма ряду Фур'є (на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\pi;\pi] )Комплексна форма ряду Фур'є (на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\pi;\pi] )

Означення:

вираз :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}


називається комплексною формою ряда Фур'є функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) , якщо визначається рівністю

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-{ikx}} dx , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k=0,\pm1,\pm2,...


Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і навпаки виконується за допомогою формул:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{a_n-i b_n}{2}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{a_n+i b_n}{2}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n={c}_{n}+{c}_{-n}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=i({c_n}-{c_{-n}})


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n\in{\mathbb{N}}


Означення:{Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k

}, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k\in{\mathbb{Z}} 

називається комплексним спектром функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
або амплітуди гармонік.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)\thicksim\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}


Дії над рядами

Теорема

Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) 
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}
Тоді коефіцієнти функції добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}({f}\cdot{g}) 
отримуються у вигляді згортки коефіцієнтів  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{k}
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {d}_{m}
, тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}
від добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}


Доведення.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)}\cdot{g(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}\cdot\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{c}_{k}{d}_{m}{e}^{i(k+m)x}=


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =[n=k+m; m=n-k]=


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}{e}^{inx}=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}(\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}){e}^{inx}


Отже: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}

Теорему доведено Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \blacksquare



Теорема

Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) 
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {d}_{k}{e}^{ikx}
Тоді функція, яка дорівнює їх сумі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c(x)}={f(x)}+{g(x)} 
має такі коефіцієнти ряду Фур'є  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}={c}_{k}+{d}_{k}
, тобто:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}({c}_{k}+{d}_{k}){e}^{ikx}



Виконала: Дроздова Маргарита Вікторівна

Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Дії_над_рядами&oldid=29241