Відмінності між версіями «Застосування інтегрального перетворення Фур’є для задачі теплопровідності»
Матеріал з Вікі ЦДУ
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''Функція <math>~u( х,t )</math>''' - температура, в залежності від часу t і просторової х.Відомо, що рівняння задовільняє такому рівнянню: | '''Функція <math>~u( х,t )</math>''' - температура, в залежності від часу t і просторової х.Відомо, що рівняння задовільняє такому рівнянню: | ||
| − | + | ||
| − | :<math>u_t = a^2u(_x)_x +f(x,t)</math> | + | :<math>~u_t = a^2u(_x)_x +f(x,t)</math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | : <math>\lim\limits_{x\to +\infty}u = 0.</math> | + | : <math>u(x,0) = \varphi(x) = 0.</math> |
| − | :<math> \lim\limits_{x\to -\infty}u = 0. | + | : <math>\lim\limits_{x\to +\infty}u = 0.</math> |
| − | + | :<math> \lim\limits_{x\to -\infty}u = 0.</math> | |
: <math>U(\alpha,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx.</math> | : <math>U(\alpha,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx.</math> | ||
| Рядок 14: | Рядок 12: | ||
: <math>F(\alpha,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,t)e^{ix\alpha}\,dx.</math> | : <math>F(\alpha,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,t)e^{ix\alpha}\,dx.</math> | ||
| − | : <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{ | + | : <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx =(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx)'_t=U_t(\alpha,t).</math> |
| − | + | : <math>~F(u(_x)_x(x,t))=(-i\alpha)^2u(\alpha,t)=-\alpha^2u(\alpha,t).</math> | |
Постановка задачі в образі просторі має вигляд: | Постановка задачі в образі просторі має вигляд: | ||
: <math>~U(\alpha,t) = 0.</math> | : <math>~U(\alpha,t) = 0.</math> | ||
| + | : <math>~U_t+a^2a^2u = F.</math> -лінійне неоднорідне диференційне рівняння | ||
| Рядок 28: | Рядок 27: | ||
Це є відповіддю в прост. образи, а тепер повернемося до простору в оригіналі: | Це є відповіддю в прост. образи, а тепер повернемося до простору в оригіналі: | ||
| + | |||
: <math>U(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(\alpha,t)e^{-ix\alpha}\,d\alpha.</math> | : <math>U(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(\alpha,t)e^{-ix\alpha}\,d\alpha.</math> | ||
| + | |||
: <math>U(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ix\alpha}\,d\alpha\int_0^t F(\alpha,\tau)e^{(-\alpha^2)a^2(t-\tau)}\,d\tau. </math> | : <math>U(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ix\alpha}\,d\alpha\int_0^t F(\alpha,\tau)e^{(-\alpha^2)a^2(t-\tau)}\,d\tau. </math> | ||
| + | |||
: <math>U(x,t)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi)^2}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ix\alpha}\,d\alpha\int_0^t e^{(-\alpha^2)a^2(t-\tau)}\,d\tau\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x_1,t)e^{ix_1\alpha}\,dx_1.</math> | : <math>U(x,t)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi)^2}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ix\alpha}\,d\alpha\int_0^t e^{(-\alpha^2)a^2(t-\tau)}\,d\tau\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x_1,t)e^{ix_1\alpha}\,dx_1.</math> | ||
| − | |||
== '''''Висновок''''' == | == '''''Висновок''''' == | ||
Версія за 21:03, 20 травня 2010
Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~u( х,t ) - температура, в залежності від часу t і просторової х.Відомо, що рівняння задовільняє такому рівнянню:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~u_t = a^2u(_x)_x +f(x,t)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,0) = \varphi(x) = 0.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lim\limits_{x\to +\infty}u = 0.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lim\limits_{x\to -\infty}u = 0.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(\alpha,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(\alpha,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,t)e^{ix\alpha}\,dx.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx =(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{ix\alpha}\,dx)'_t=U_t(\alpha,t).
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F(u(_x)_x(x,t))=(-i\alpha)^2u(\alpha,t)=-\alpha^2u(\alpha,t).
Постановка задачі в образі просторі має вигляд:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~U(\alpha,t) = 0.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~U_t+a^2a^2u = F.
-лінійне неоднорідне диференційне рівняння
F - лінійне неоднорідне диференційне рівняння
Розвязками цього рівняння є:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(\alpha,t)= \int_0^t F(\alpha,\tau)e^{(-\alpha^2)a^2(t-\tau)}\,d\tau.
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\tau -зміна інтегрування
Це є відповіддю в прост. образи, а тепер повернемося до простору в оригіналі:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(\alpha,t)e^{-ix\alpha}\,d\alpha.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ix\alpha}\,d\alpha\int_0^t F(\alpha,\tau)e^{(-\alpha^2)a^2(t-\tau)}\,d\tau.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,t)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi)^2}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ix\alpha}\,d\alpha\int_0^t e^{(-\alpha^2)a^2(t-\tau)}\,d\tau\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x_1,t)e^{ix_1\alpha}\,dx_1.
Висновок
З допомогою інтегрального перетворення Фур'є задача з диференційним рівнянням частинних похідних перетворилася в задачу Коші із звичайними диференційовними рівняннями ,яка була розвязана і до розв'язку застосовуэться обернене перетворення Фур'є.Відповідь отримали у вигляді інтеграла.
