Відмінності між версіями «Інтеграли Френеля та інтеграл ймовірностей»

Версія за 19:55, 20 травня 2010

вместо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t^2

Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.

Параметрический график S(x) и C(x) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой.

Разложение в ряд

Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами, сходящимися при всех x:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.

Некоторые авторы^[1] используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\pi}{2}t^2 . Полученные функции получаются из определённых выше сжатием графика по оси Y в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sqrt{\frac{2}{\pi}}

раз и растяжением вдоль оси X во столько же раз.

Спираль Корню

Спираль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спираль стремится к центрам отверстий при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t \rightarrow +\infty .

Шаблон:Основная статья Спираль Корню, также известная как клотоида, — это кривая, являющаяся параметрическим графиком S(t) от C(t). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.

Так как

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C\,'(t)^2 + S\,'(t)^2 = \sin^2(t^2) + \cos^2(t^2) = 1,

то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что t является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.

Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет изменяться линейно

Свойства

• C(x) и S(x) — нечётные функции x.

• Используя разложение в ряд, можно построить аналитическое продолжение интегралов Френеля на всю комплексную плоскость. Комплексные интегралы Френеля выражаются через функцию ошибок как

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)

.

• Интегралы Френеля не выражаются через элементарные функции, кроме частных случаев. Предел этих функций при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \rightarrow \infty

равен

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.

Вычисление

Пределы функций C и S при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \rightarrow \infty

могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{-\frac{1}{2}t^2}

по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=x , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \geqslant 0

и окружностью радиуса R с центром в начале координат.

При Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): R \rightarrow \infty

интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению интеграла Пуассона

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt = \sqrt{\frac {\pi}{2}},

и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля.

См. также

• Дифракция Френеля

Примечания

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7) Шаблон:Ref-en

Шаблон:Примечания

Внешние ссылки

• Шаблон:MathWorld Шаблон:Ref-en
• Шаблон:MathWorld Шаблон:Ref-en
• R. Nave, The Cornu spiral, Hyperphysics (2002) (Использует πt²/2 вместо t².) Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite web Шаблон:Ref-en

Категория:Физическая оптика Категория:Специальные функции

en:Fresnel integral
Помилка цитування: Для наявного тегу <ref> не знайдено відповідного тегу <references/>