Відмінності між версіями «Початково-крайова задача для рівняння теплопровідності. Метод Фур’є»
| Рядок 32: | Рядок 32: | ||
a) <math>{\lambda<0}</math> | a) <math>{\lambda<0}</math> | ||
<math>{\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{R}}</math> | <math>{\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{R}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>{x=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{x}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{x}}}}</math> | ||
| + | |||
| + | Підставляємо у (8) <math>{X(0)=c_1+c_2=0}</math> | ||
| + | |||
| + | Підставляємо у (9) <math>{X(l)=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{l}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{l}}}}</math> | ||
Версія за 21:28, 19 травня 2010
Навідміну від попереднього пункта рівняння теплопровідності однорідне, але початкова умова неоднорідна.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\begin{cases} {U}{t}-a^2{U}_{xx}=0, (1) & \\ U(0,t)=0,(2) & \\U(l,t)=0, (3)& \\U(x,0)=\varphi(x),(4)\end{cases}}
U-температура
Задачу будемо розв'язувати методом Фур'є(методом відокремлюваних змінних)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {U(x,t)=X(x)T(t), (5)}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(1)}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X}{T'}=a^2{X''}{T}} {\mid\frac{1}{{X}{T}a^2}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): { \frac{T'}{a^2{T}}=\frac{X''}{X}=-\lambda}\Rightarrow \;\begin{cases} T'+a^2{\lambda{T}}=0, (6)& \\X''+\lambda{X}=0,(7)\end{cases}
- звичайні диференціальні рівняння другого порядку
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(2):}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X(0)}{T(t)}=0\Rightarrow \;X(0)=0,(8)}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(5)\rightarrow \;(3):}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{X(l)}{T(t)}\Rightarrow \;X(l)=0,(9)}
Розглянемо задачу (7)-(9) .Це крайова задача функції відносно X(x) з параметром Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda}
. Вона називається задачею Штурма-Ліувілля. Розв'язати цю задачу означає : знайти для яких значень параметра Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda}
існують нетривіальні розв'язки (7)-(9). Причому значення параметра називаються власними значеннями, а самі нетривіальні розв'язки - власними функціями.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {(7)}
- характеристичне рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha^2+\lambda=0\Rightarrow \;\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}}
a) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\lambda<0}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\alpha_{1, 2}=\pm\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{R}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {x=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{x}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{x}}}}
Підставляємо у (8) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(0)=c_1+c_2=0}
Підставляємо у (9) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {X(l)=c_1{e^{\sqrt{-\lambda}{l}}}+c_2{e^{-\sqrt{-\lambda}{l}}}}
