Відмінності між версіями «Дії над рядами»

Версія за 18:21, 19 травня 2010

Ряди Фур'є застосовні до достатньо широкого класу функцій.

Комплексна форма ряду Фур'є (на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\pi;\pi] )Комплексна форма ряду Фур'є (на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\pi;\pi] )

Вираз :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}

називається комплексною формою ряда Фур'є функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) , якщо визначається рівністю

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-{ikx}} dx , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k=0,\pm1,\pm2,...

Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і навпаки виконується за допомогою формул:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{a_n-i b_n}{2}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{a_n+i b_n}{2}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n={c}_{n}+{c}_{-n}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=i({c_n}-{c_{-n}})

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n\in{\mathbb{N}}

Дії над рядами

Теорема

Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\sum^{+\infty}_{m=-\infty} {d}_{m}{e}^{imx}

Тоді коефіцієнти функції добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})

отримуються у вигляді згортки коефіцієнтів  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{k}
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {d}_{m}
, тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}
від добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}

Доведення.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)}\cdot{g(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}\cdot\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{c}_{k}{d}_{m}{e}^{i(k+m)x}=

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =[n=k+m; m=n-k]=

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}{e}^{inx}=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}(\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}){e}^{inx}

Отже: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}

Теорему доведено Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \blacksquare

Теорема

Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {d}_{k}{e}^{ikx}

Тоді функція, яка дорівнює їх сумі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c(x)}={f(x)}+{g(x)}

має такі коефіцієнти ряду Фур'є  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}={c}_{k}+{d}_{k}
, тобто:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}({c}_{k}+{d}_{k}){e}^{ikx}