Відмінності між версіями «Функції Беселя цілого порядку»
| Рядок 35: | Рядок 35: | ||
Нехай є нулі <math>{\mu{i}}</math> і <math>{\mu{k}}</math> функції Бесселя <math>{{J_{m}(x)}}</math>. | Нехай є нулі <math>{\mu{i}}</math> і <math>{\mu{k}}</math> функції Бесселя <math>{{J_{m}(x)}}</math>. | ||
Тоді <math>{\int_0^1{J_{m}}(\mu{i}(x)){S_{m}}(\mu{k}(x))tdx:=\begin{cases} 0, \mbox{i}\neq{k} \\ \frac{1}{2}{S^2_{m+1}}({\mu{i}})i=k, \end{cases}}</math> | Тоді <math>{\int_0^1{J_{m}}(\mu{i}(x)){S_{m}}(\mu{k}(x))tdx:=\begin{cases} 0, \mbox{i}\neq{k} \\ \frac{1}{2}{S^2_{m+1}}({\mu{i}})i=k, \end{cases}}</math> | ||
| + | |||
| + | Ряд Фур'є-Бесселя для довільної функції <math>{f(x)}</math> на (0,1) мае вигляд:<math>{f(x)\thicksim \sum^{\infty}_{k=1}{a}{k}{J_{m}}(\mu{k},x)}</math>(нулі функції). | ||
Версія за 17:28, 19 травня 2010
Рівняння Бесселя виникає під час знаходження рішень рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндрових і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при рішенні багатьох задач про розповсюдження хвиль, статичні потенціали тощо, наприклад:
електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;
-теплопровідність в циліндрових об'єктах;
-форми коливання тонкої круглої мембрани
-швидкість частинок в циліндрі, що заповнена рідиною і обертається навколо своєї осі.
Функції Бесселя застосовуються і в рішенні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.
Функції Бесселя цілого порядку.
Функція Бесселя невід'ємного цілого порядку можна отримати як коефіцієнти розвинення в ряд по додатних та від'ємних степенях змінної S функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}} (ряд Лорана)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}={J_{0}(z)}\neq\sum^{\infty}_{m=1}(S^m+(-S)^{-m})^{e^{\frac{z}{2}(s-\frac{1}{s})}}{J_{m}(z)}
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\cos(z\mathrm{sin}\, t)={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}\mathrm{cos}\, kt}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\sin(z\mathrm{sin}\, t)=2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k-1}(z)}\sin{(2k-1)}t}
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {e\pm{iz\mathrm{sin}\, t}=\sum^{\infty}_{m=\infty}{J_{m}(z)}e^{-mt}}
Часткові випадки:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {1={J_{0}(z)}+2\sum^{\infty}_{k=1}{J_{2k}(z)}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {z^n=2^n\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(m+2k)(n+k-1)}{k!}}
Z беретьсь з множини комплексних чисел.
Умови ортогональності функції Бесселя.
Нехай є нулі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu{i}}
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\mu{k}}
функції Бесселя Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {{J_{m}(x)}}
. Тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\int_0^1{J_{m}}(\mu{i}(x)){S_{m}}(\mu{k}(x))tdx:=\begin{cases} 0, \mbox{i}\neq{k} \\ \frac{1}{2}{S^2_{m+1}}({\mu{i}})i=k, \end{cases}}
Ряд Фур'є-Бесселя для довільної функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)}
на (0,1) мае вигляд:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)\thicksim \sum^{\infty}_{k=1}{a}{k}{J_{m}}(\mu{k},x)}
(нулі функції).
